Признак Лейбница: знакочередующиеся ряды

Возьмите гармонический ряд $\sum \frac{1}{n}$ — эталон расходимости — и расставьте в нём плюс-минус: $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots$ Судьба меняется на противоположную: ряд сходится, и сумма у него конкретная — $\ln 2\approx 0,6931$. Ни одно из условий для положительных рядов здесь не проверишь: члены меняют знак, отношение соседей бывает отрицательным. Зато сама смена знака дарит новый инструмент — чередование гасит накопление, и достаточно, чтобы модули членов монотонно таяли к нулю.

Опорные понятия — в уроке числовые ряды и термине ряд; здесь же — признак Готфрида Лейбница целиком: формулировка, доказательство через пары членов, три разобранных примера с точными суммами и оценка остатка, которая стоит пределу отношения. Полное дерево признаков — в гайде как исследовать сходимость ряда.

Где Лейбниц стоит в очереди признаков#

Даламбер, радикальный Коши и предельное сравнение работают только с положительными рядами: они измеряют скорость таяния членов, а скорость имеет смысл для модулей. Как только в члене появляется $(-1{)}^n$ или множитель $\cos (\pi n)$, всё это хозяйство теряет власть — отношение соседей может быть отрицательным, и сравнивать его с единицей бессмысленно. Врезка на странице признака Даламбера честно отсылает именно сюда: знакочередование — сигнал другой страницы.

Формулировка: два условия и один вердикт#

Разберём буквы. $a_n$ — модуль $n$-го члена: положительное число без знака. Знакочередующийся ряд — это модули, между которыми расставлены плюс и минус. Условие $a_{n+1}\le a_n$ — монотонное убывание; достаточно, чтобы оно выполнялось с некоторого номера, начало ряда судьбы не решает. Условие $a_n\to 0$ — необходимое условие сходимости, без него говорить не о чем.

• оба условия выполнены — ряд сходится, и это всё: никаких требований к скорости затухания, $\frac{1}{\sqrt{n}}$ подойдёт так же, как $\frac{1}{n^5}$;
• первое условие нарушено, а второе нет — признак молчит: монотонность в формулировке не для красоты, а рабочая деталь (контрпример ниже);
• хотите больше, чем «сходится», — считайте модули: ряд из них либо сходится (абсолютная сходимость), либо расходится (условная).

Почему это работает: пары членов

Сгруппируем соседей: $(a_1-a_2)+(a_3-a_4)+\dots$ Каждая скобка положительна — монотонность убывания гарантирует $a_{2k-1}\ge a_{2k}$. Значит, чётные частичные суммы $S_{2m}$ растут. Нечётные ведут себя зеркально: $S_{2m+1}=S_{2m}+a_{2m+1}$, и прибавка тает, поэтому $S_{2m+1}$ убывает. Зажим: $S_{2m}\le S_{2m+1}$, растущая последовательность не догоняет убывающую, а расстояние между ними — ровно очередной член $a_{2m+1}$, стремящийся к нулю. Монотонные и ограниченные последовательности имеют предел — логика та же, что в уроке предел последовательности; здесь она выдаёт сходимость бесплатно.

Из той же картинки падает и оценка остатка. Истинная сумма $S$ зажата между любыми двумя соседними частичными суммами, поэтому хвост не дальше первого отброшенного члена:

Практический смысл: посчитали $S_n$ — тут же знаете ошибку. Ни один признак для положительных рядов такой щедрости не даёт: там остаток оценивается интегралом или через хвостовое сравнение, и всегда с оговорками.

Пример 1. Гармонический ряд со знаками: условная сходимость#

Исследуем $\sum \frac{(-1{)}^{n-1}}{n}$ — главный ряд кластера: сходимость условная, сумма точная, а расходимость ряда из модулей — та самая гармоническая. Полный протокол двух ходов.

1. 1
   Модули $a_n=\frac{1}{n}$ положительны; монотонность: $\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}$, знаменатель растёт — дробь тает.
2. 2
   Предел: $\frac{1}{n}\to 0$. Оба условия Лейбница выполнены — ряд сходится.
3. 3
   Сумма известна: $\sum \frac{(-1{)}^{n-1}}{n}=\ln 2\approx 0,6931$ — получится из разложения $\ln (1+x)$ при $x=1$ в уроке степенные ряды.
4. 4
   Второй ход — модули: $\sum \left|\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}\right|=\sum \frac{1}{n}$ — гармонический ряд, расходится. Значит, сходимость условная.
5. 5
   Контроль остатка: $S_{10}\approx 0,6456$, $S_9\approx 0,7456$, истинная сумма $\ln 2=0,6931$ лежит между ними, и $|R_{10}|=0,0475\le \frac{1}{11}\approx 0,0909$ — оценка честная с запасом.

Слово «условная» здесь не формальность. У условно сходящегося ряда сумма держится на балансе знаков: уберите чередование — и накопление уносится на бесконечность как у гармонического ряда. Об этом же — история с перестановками ниже.

Пример 2. Обратные квадраты: абсолютная сходимость#

Ряд $\sum \frac{(-1{)}^{n-1}}{n^2}$ ведёт себя полегче: модули тают квадратично, и проверка модулей закрывается эталонным $p$-рядом.

1. 1
   Лейбниц: $a_n=\frac{1}{n^2}$ монотонно тает и стремится к нулю — ряд сходится.
2. 2
   Модули: $\sum \frac{1}{n^2}$ — $p$-ряд с $p=2>1$, сходится (вывод через интеграл — на странице интегрального признака, сравнение с эталоном — на предельном признаке сравнения).
3. 3
   Вердикт: ряд сходится абсолютно. Формулировка сильнее, чем у примера 1.
4. 4
   Сумма: $\sum \frac{(-1{)}^{n-1}}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{12}\approx 0,8225$ — половина базельской суммы $\frac{{\pi }^2}{6}$: чётные слагаемые выпадают с двойным весом, $\frac{{\pi }^2}{6}-2\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{{\pi }^2}{6}=\frac{{\pi }^2}{12}$.
5. 5
   Остаток: $|R_{10}|\le \frac{1}{11^2}\approx 0,0083$ — десять членов уже дают три верных знака после запятой.

Иерархия простая: абсолютная сходимость — гриф качества, условная — минимальная сходимость. Всякий абсолютно сходящийся ряд сходится и обычным образом; обратное неверно, и пример 1 — живое доказательство.

Пример 3. Ряд 1 − 1/3 + 1/5 − …: обратные нечётные#

$\sum \frac{(-1{)}^{n-1}}{2n-1}$ — ряд обратных нечётных чисел, он же ряд Грегори–Лейбница. Сходимость по Лейбницу, но модули — новая неприятность: $p$-рядом их не поймать, степени-то нет. Сравнение с эталоном спасает.

1. 1
   Модули $a_n=\frac{1}{2n-1}$ положительны, монотонно убывают (знаменатель растёт) и $\frac{1}{2n-1}\to 0$ — по Лейбницу ряд сходится.
2. 2
   Модули: $\sum \frac{1}{2n-1}$. Сравниваем с гармоническим: $k=\lim \frac{1/(2n-1)}{1/n}=\lim \frac{n}{2n-1}=\frac{1}{2}$ — конечен и положителен.
3. 3
   Эталон $\sum \frac{1}{n}$ расходится — значит, и ряд из модулей расходится. Сходимость условная.
4. 4
   Сумма: $\frac{\pi }{4}\approx 0,7854$ — ряд Грегори–Лейбница есть разложение $\arctan x$ при $x=1$. Контроль: $S_4=0,7238$, $S_5=0,8349$, сумма между ними.
5. 5
   Остаток: $|R_n|\le \frac{1}{2n+1}$. Для точности $0,01$ нужно $2n+1\ge 100$, то есть $n\ge 50$: пятьдесят членов за один верный второй знак. Медленно — это цена условной сходимости.

Монотонность — не украшение#

Что будет, если пропустить проверку монотонности? Ряд $\sum (-1{)}^{n-1}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}\right)$ раскрывается в сумму двух: $\sum \frac{(-1{)}^{n-1}}{\sqrt{n}}$ — сходится по Лейбницу, и $\sum \frac{1}{n}$ — расходится гармонически. Итого ряд расходится, хотя его члены стремятся к нулю и по модулю чередуются. Модуль члена $\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}$ на чётных номерах равен $\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{n}$, на нечётных — $\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n}$: последовательность немонотонна, и именно в этой трещине прячется расходящаяся добавка $\frac{1}{n}$.

Типичные грабли#

• Применяли Лейбниц к знакопостоянному ряду: у ряда $\sum \frac{1}{n}$ формально есть «монотонные» члены, но чередования нет — вердикт Лейбница тут ни при чём, гармонический ряд расходится.
• Проверили $a_n\to 0$, но не проверили монотонность — контрпример из раздела выше расходится при членах, стремящихся к нулю.
• Остановились после первого хода: «сходится по Лейбницу» — неполный ответ, если не выяснено, условная это сходимость или абсолютная.
• Перенесли оценку $|R_n|\le a_{n+1}$ на произвольные ряды: она живёт только у знакочередующихся с выполненными условиями Лейбница.
• Решили, что условная сходимость устойчива к перестановкам: теорема Римана говорит обратное — сумма условно сходящегося ряда зависит от порядка членов.

Куда идти дальше#

Второй ход — анализ модулей — требует признаков для положительных рядов: предельный признак сравнения для степенных скоростей, интегральный признак для рядов с логарифмами. На границе круга сходимости степенных рядов — в уроке степенные ряды — Лейбниц работает постоянно: там чередование знаков даётся множителем $(-1{)}^n$.

Потренироваться различать условную и абсолютную сходимость — в тренажёре по рядам, все формулы кластера — в шпаргалке по рядам, пошаговое исследование конкретного ряда — решатель рядов. Термин признак Даламбера кратко напомнит, почему для чередующихся рядов нужен другой инструмент.