Степенные ряды: радиус и интервал сходимости, ряды Тейлора

Многочлен — самая честная функция на свете: значения считаются сложением и умножением, дифференцируется он в одну строку, интегрируется без борьбы. Степенной ряд — это многочлен, у которого число слагаемых бесконечно: $c_0+c_{1}x+c_2{x}^2+\dots$ Вопрос только один — сходится ли такая бесконечная сумма, и если да, то при каких $x$. Ответ красив до неприличия: множество точек сходимости у степенного ряда — всегда сплошной промежуток, симметричный относительно центра.

Что такое степенной ряд#

Степенным рядом называется ряд вида ${\sum }_{n=0}^{\infty }{c}_n(x-a{)}^n=c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a{)}^2+\dots$, где числа $c_n$ — коэффициенты, а $a$ — центр ряда. Для простоты дальше берём $a=0$. Каждый фиксированный $x$ превращает ряд в числовой — тот самый из прошлого урока, — и вопрос о сходимости решается для каждого $x$ отдельно.

Сценариев ровно три. Либо ряд сходится только в центре ($x=0$) — как $\sum n!x^n$; либо сходится при всех $x$ — как $\sum \frac{x^n}{n!}$, чья сумма равна $e^x$; либо есть число $R>0$ — радиус сходимости — такое, что внутри $|x|<R$ ряд сходится абсолютно, вне $|x|>R$ расходится. Промежуток $(-R,R)$ — интервал сходимости. Промежуточных вариантов не бывает: если ряд сходится в точке $x_0$, он автоматически сходится и во всех точках ближе к центру — в этом смысл слова «сплошной».

Базовый пример — геометрический ряд: ${\sum }_{n=0}^{\infty }{x}^n=\frac{1}{1-x}$ при $|x|<1$. Слагаемые $x^n$ гаснут лишь когда $|x|<1$, поэтому $R=1$: при $x=0.5$ сумма равна 2, при $x=2$ ряд взрывается. Вся теория радиусов вырастает из этой картинки.

Радиус сходимости: как его найти#

Коэффициенты ряда сами подсказывают радиус. Признак Даламбера, применённый к членам ряда с конкретным $x$, даёт условие сходимости вида $\rho =|x|\cdot {\rho }_0<1$. Отсюда рабочая формула (когда предел существует):

Посчитаем для ряда $\sum \frac{n{x}^n}{2^n}$, где $c_n=\frac{n}{2^n}$. Отношение соседних коэффициентов: $\frac{c_n}{c_{n+1}}=\frac{n/2^n}{(n+1)/2^{n+1}}=\frac{2n}{n+1}$. Эта последовательность ползёт к двойке — увидим это на графике:

Итак, $R=2$: внутри интервала $(-2,2)$ ряд сходится, снаружи — расходится. Остаются концы интервала, и их проверяют отдельно, подстановкой в ряд — никакая формула радиуса про них ничего не говорит. Полный разбор от и до:

Ряды Тейлора: когда степенной ряд — это функция#

Зачем всё это? Затем, что главные функции анализа представляются степенными рядами — их рядами Тейлора. Показательная функция: $e^x={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$ с радиусом $R=\infty$ — сходится при любом $x$. Геометрический: $\frac{1}{1-x}=\sum x^n$ при $|x|<1$. Арктангенс: $\mathrm{arctg}x={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{2n+1}$ при $|x|\le 1$. Коэффициенты этих рядов — производные функции в центре: тема формулы Тейлора из первого семестра разворачивается здесь в полную силу.

Насколько быстро частичные суммы догоняют функцию? Взгляните: три слагаемых уже дают приличное приближение к экспоненте возле нуля, пять слагаемых держатся вдвое дальше. Радиус $\infty$ означает, что приближение возможно везде — вопрос лишь в числе слагаемых.

Прикладная сторона: ряды — это то, как вычисляют трансцендентные функции внутри калькуляторов и процессоров. Оценим $e$ частичной суммой: $1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{1}{120}=2.7167$ — уже пять слагаемых дают точность до второй цифры, а добавка $\frac{1}{720}\approx 0.0014$ доводит до $2.7181$ против точного $e\approx 2.7183$. Ещё пример вычислительной пользы: подставив $x=1$ в ряд арктангенса, получаем формулу Лейбница $\frac{\pi }{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\dots$ — медленную, но концептуально бесценную.

У степенных рядов есть ещё одно роскошное право: внутри интервала сходимости их можно дифференцировать и интегрировать почленно, и радиус при этом не меняется. Проинтегрируем геометрический ряд: ${\int }_0^x\frac{dt}{1-t}=\sum \frac{x^{n+1}}{n+1}=-\ln (1-x)$ — ряд логарифма получен бесплатным интегрированием известного ряда. Именно так строятся таблицы значений и доказательства новых разложений: конвейер из одного ряда делает следующие.

К стандартной библиотеке разложений добавим тригонометрию: $\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\dots$ и $\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\dots$ — оба ряда сходятся при всех $x$, то есть $R=\infty$. Коэффициенты удобно сверять факториалами: в ряде синуса стоят нечётные факториалы $3!=6$ и $5!=120$ со знаками через раз, в ряде косинуса — чётные $2!=2$ и $4!=24$. Отсюда же берётся грубое, но рабочее приближение $\sin x\approx x-\frac{x^3}{6}$: при $x=0.5$ оно даёт $0.5-0.125/6\approx 0.4792$ против точного $0.4794$.

1. 1
   Выписать коэффициенты $c_n$ и найти $R=\lim \left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|$
2. 2
   Записать интервал $(a-R,a+R)$ по центру ряда $a$
3. 3
   Подставить $x=a-R$ и исследовать получившийся числовой ряд обычными признаками
4. 4
   Подставить $x=a+R$ — поведение двух концов может отличаться
5. 5
   Записать ответ с правильными скобками: интервал, отрезок или полуинтервал

Сумму внутри интервала часто удаётся найти в явном виде — через почленное дифференцирование геометрического ряда. Продифференцируем тождество ${\sum }_{n=0}^{\infty }{x}^n=\frac{1}{1-x}$: слева почленно выходит ${\sum }_{n=1}^{\infty }n{x}^{n-1}$, справа — $\frac{1}{(1-x{)}^2}$. Подставим $x=0.5$: сумма $1+2\cdot 0.5+3\cdot 0.25+\dots$ равна $\frac{1}{0.25}=4$ — бесконечная сумма с растущими весами складывается в скромную четвёрку.

• Область сходимости степенного ряда — промежуток с центром $a$: либо точка, либо вся прямая, либо $(-R,R)$ с проверенными концами
• Радиус из коэффициентов: $R=\lim |c_n/c_{n+1}|$ или $\frac{1}{R}=\lim \sqrt[n]{|c_n|}$
• Концы интервала исследуются отдельно — подстановкой, обычными признаками для числовых рядов
• Главные разложения: $e^x$, $\frac{1}{1-x}$, $\sin x$, $\cos x$, $\ln (1+x)$, $\mathrm{arctg}x$
• Внутри интервала — почленное дифференцирование и интегрирование без смены радиуса

Мостик дальше: ряд Тейлора — лишь один из членов большого семейства разложений. В уроке про ряды Фурье разбирать функции на слагаемые будем не по степеням, а по синусам и косинусам — так обрабатываются периодические сигналы. Если признак Даламбера плавает, вернитесь к числовым рядам; словарные статьи про ряд и число e помогут закрепить термины, а экспонента — увидеть, что $e^x$ и её ряд — одно и то же.