Признак Даламбера

Факториал $n!$ или пятая степень $2^n$ в члене ряда — и рука тянется к Даламберу. Отношение соседних членов у таких конструкций схлопывается: $(n+1)!=(n+1)n!$ сокращает факториал, степени дают геометрическую прогрессию. Одна дробь, один предел — и вердикт готов. Именно так исследует такие ряды решатель рядов, а ниже — та же механика руками.

Идея метода одной строкой#

Смысл за пределом такой: при $\rho <1$ члены после некоторого номера убывают не просто монотонно, а как геометрическая прогрессия со знаменателем чуть меньше единицы — а она суммируется. При $\rho >1$ члены растут, и необходимое условие сходимости рушится. Граница $\rho =1$ — территория гармонических рядов: там хозяйничают признаки сравнения и интегральный признак.

Алгоритм: пять шагов#

1. 1
   Убедитесь, что члены положительны: к знакочередующимся рядам признак не применяют — их территория Лейбниц.
2. 2
   Выпишите $a_{n+1}$, заменив всюду $n$ на $n+1$.
3. 3
   Составьте отношение $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ и упростите: $\frac{(n+1)!}{n!}=n+1$, $\frac{5^{n+1}}{5^n}=5$, $\frac{(n+1{)}^{n+1}}{n^n}=(n+1){\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$.
4. 4
   Посчитайте предел $\rho$.
5. 5
   Вердикт: $\rho <1$ — сходится, $\rho >1$ — расходится, $\rho =1$ — признак не отвечает, смените инструмент.

Разбор флагманского примера#

Исследуем $\sum \frac{n!}{n^n}$. Общий член сочетает два «быстрых» объекта — факториал и $n$-ю степень, и Даламбер разгребает это за три строки.

Предел $\rho =\frac{1}{e}<1$ — ряд сходится. Скобка ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ — второй замечательный предел, перевёрнутый в знаменатель: без него факториальные ряды не считаются. Численный контроль: при $n=50$ отношение равно $0,385$ — уже близко к $\frac{1}{e}$.

Ряд $\sum \frac{(2n+1)!}{n!3^n}$ — проверка на выносливость. Отношение соседей: $\frac{(2n+3)(2n+2)}{(n+1)\cdot 3}=\frac{2(2n+3)}{3}$ — уходит на бесконечность. $\rho =\infty >1$: ряд расходится, члены растут как степенная функция. Когда предел отношения бесконечен, дополнительных проверок не требуется — необходимое условие нарушено с запасом. Наконец, случай $\rho =1$ стоит увидеть на близнецах: для $\sum \frac{1}{n}$ отношение $\frac{n}{n+1}\to 1$ и ряд расходится; для $\sum \frac{1}{n^2}$ отношение ${\left(\frac{n}{n+1}\right)}^2\to 1$ и ряд сходится. Один и тот же предел — противоположные вердикты.

Три типовые ошибки#

• Перевернуть дробь: признак требует $\frac{a_{n+1}}{a_n}$, а не $\frac{a_n}{a_{n+1}}$ — инверсия меняет вердикт на противоположный.
• Забыть, что $(n+1)!=(n+1)n!$, и застрять в громоздкой дроби. Каждое сокращение факториала — минус строка выкладок.
• При $\rho =1$ объявить ряд расходящимся. Единица — не вердикт, а сигнал сменить инструмент: сравнение, интегральный признак, радикальный Коши.