Решатель · ИсследоватьВсе методы решателяОбновлено 2026-10-05

Признак Лейбница и знакопеременные ряды

Признак Лейбница: монотонное затухание и стремление членов к нулю, абсолютная и условная сходимость, оценка остатка и график качелей частичных сумм. Три примера.

Пример, разобранный на этой странице

n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n + 1} n}{n ^{2} + 1}

Ответ: $сходится условно (Лейбниц + расходящиеся модули)$

Решить своё задание в решателе Алгоритм из 5 шагов

Знаки плюс-минус чередуются, и все признаки для положительных рядов бессильны: отношение соседей отрицательно, сравнение требует положительности. Зато у знакочередующихся рядов есть собственный инструмент — признак Лейбница: модули членов монотонно тают и стремятся к нулю — ряд сходится. Дальше второй ход: разделение на абсолютную и условную сходимость. Любой знакопеременный ряд исследует решатель рядов ровно в этом порядке.

Идея: качели с затуханием#

\sum (- 1)^{n - 1} a_{n}, a_{n} > 0 : a_{n + 1} \leq a_{n} и a_{n} \to 0 \Rightarrow ряд сходится

оба условия обязательны: монотонность и стремление к нулю

Частичные суммы ряда Лейбница виляют вокруг своего предела: нечётная $S_{2 k + 1}$ всегда выше, чётная $S_{2 k}$ ниже, а размах виляний равен очередному члену $a_{n}$ . Когда члены тают, качели затухают и зажимают сумму между двумя соседними частичными суммами. Бонус, которого нет у положительных рядов: ошибка $n$ -й частичной суммы не превышает первого отброшенного члена, $∣ R_{n} ∣ \leq a_{n + 1}$ .

Алгоритм: два хода вместо одного#

Выпишите модули $a_{n} = ∣ общий член ∣$ и проверьте монотонное убывание: сравните $a_{n + 1}$ с $a_{n}$ или продифференцируйте $f (x)$ .
Проверьте $lim a_{n} = 0$ . Оба условия — сходимость по Лейбницу доказана; определения — в уроке числовые ряды.
Второй ход: исследуйте ряд из модулей $\sum a_{n}$ Даламбером или сравнением.
Модули сходятся — сходимость абсолютная, самый крепкий вердикт. Модули расходятся — сходимость условная.
Нужна точность суммы? Возьмите $∣ R_{n} ∣ \leq a_{n + 1}$ : первый отброшенный член — готовая погрешность.

Разбор флагманского примера#

Исследуем $\sum \frac{( - 1 ) ^{n + 1} n}{n ^{2} + 1}$ . Ход первый — Лейбниц. Модули $a_{n} = \frac{n}{n ^{2} + 1}$ : производная $f^{'} (x) = \frac{1 - x ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$ при $x > 1$ отрицательна, модули убывают; предел $\frac{n}{n ^{2} + 1} \to 0$ . Ряд сходится.

Ход второй — модули. Сравниваем $\frac{n}{n ^{2} + 1}$ с гармоническим эталоном $\frac{1}{n}$ : предел отношения равен единице. Эталон расходится — ряд из модулей расходится. Итог: сходимость условная, сумма держится на балансе знаков.

Ряд $\sum \frac{( - 1 ) ^{n} 2 ^{n}}{n !}$ — Лейбниц выполняется с запасом, но второй ход быстрее: модули $\frac{2 ^{n}}{n !}$ проверяются признаком Даламбера, $ρ = lim \frac{2}{n + 1} = 0 < 1$ . Модули сходятся — сходимость абсолютная. Никаких качелей: такой ряд устойчив даже к перестановке членов. И пример на остаток: для $\sum \frac{( - 1 ) ^{n + 1}}{n ^{2}}$ частичная сумма $S_{5} = 0, 8386$ , точная сумма $\frac{π ^{2}}{12} \approx 0, 8225$ , разница $0, 0161 \leq \frac{1}{36} \approx 0, 0278 = a_{6}$ — оценка честная, с запасом.

Частичные суммы: как ряд набирает сумму

Ряды

Каждая точка ломаной — частичная сумма $S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ : столько ряд «накопил» к члену номер $n$ . У сходящихся рядов точки прилипают к предельной линии — сумме ряда $S_{\infty}$ ; у гармонического члены $a_{n} = 1/ n$ тают, а сумма всё равно уходит на бесконечность.

Пресет ряда

aₙ = (−1)ⁿ⁺¹/nсходится, сумма ln 2 ≈ 0,6931нарисовано 40 из 40

Полоса членов: aₙ > 0 — вверх (изумрудный), aₙ < 0 — вниз (розовый)

S₁₀

0,646

S₄₀

0,681

S∞

ln 2 ≈ 0,6931

Горизонт N (членов в графике)N = 40

«Проиграть» добавляет точки по одной — смотрите, ломаная прилипает к пределу или ползёт вверх. Тумблер «Члены aₙ» покажет слагаемые столбиками: сразу видно, почему знакочередующийся ряд сходится, а гармонический — нет.

Три типовые ошибки#

Проверить монотонность по первым членам и успокоиться: последовательность может проваливаться нерегулярно. Надёжный способ — производная $f^{'} (x) < 0$ при $x \geq N$ .
Остановиться после Лейбница и не сказать слово «условная». На зачёте ждут двухходовку: сходимость по Лейбницу плюс вердикт по модулям.
Переставлять члены условно сходящегося ряда: сумма зависит от порядка слагаемых, и перестановка способна сменить саму сумму.

Проверь себя+10 XP

Ряд $\sum \frac{( - 1 ) ^{n} n}{2 n + 3}$ . Что верно?

Частые вопросы

Чем условная сходимость хуже абсолютной?

Абсолютно сходящийся ряд ведёт себя как конечная сумма: члены можно переставлять, ряды — складывать и перемножать, и всё останется честным. У условно сходящегося сумма держится на компенсации знаков: перестановка меняет сумму, а отбрасывание хвоста непредсказуемо. Техника проверки обоих ходов — на странице [признака Лейбница](/priznaki-shodimosti/priznak-leybnica/).

Как оценивать остаток знакочередующегося ряда?

Теорема Лейбница даёт готовую оценку: остаток не превосходит первого отброшенного члена по модулю. Для ряда $\sum \frac{(-1)^n}{n!}$ уже третий член даёт ошибку меньше сотой, а для суммы $\ln 2$ пять членов дают точность $\tfrac{1}{6}$. Такие оценки — рабочая лошадка приближений в [степенных рядах](/course/matanaliz/stepennye-ryady/).

Что делать, если модули тают, но не монотонно?

Монотонность достаточно проверить с некоторого номера — начало ряда не влияет на вердикт. Если она не выполняется вовсе, Лейбниц не отвечает, но сходимость возможна: проверьте абсолютную сходимость по Даламберу или Коши. Гайд по всем маршрутам — в разборе [как решать ряды](/kak-reshat/ryady/).