Радикальный и интегральный признаки Коши

Весь общий член целиком в степени $n$ — например ${\left(\frac{2n+1}{3n+2}\right)}^n$? Радикальный признак Коши снимает эту степень корнем $n$-й степени за одно действие. А если член — монотонная функция $f(n)$ вроде $\frac{1}{n\ln n}$, которую не ловит ни Даламбер ($\rho =1$), ни сравнение на глаз, — меряет интегральный признак: сумма превращается в площадь. Оба признака отвечают на один вопрос — сходится ли ряд.

Радикальный признак: корень против степени#

Механика та же, что у Даламбера, только вместо отношения соседей — корень. Ключевые пределы: $\sqrt[n]{c}\to 1$ для любого фиксированного $c$, $\sqrt[n]{c^n}=c$, $\sqrt[n]{n}\to 1$. Поэтому ряд $\sum {\left(\frac{2n+1}{3n+2}\right)}^n$ даёт $\rho =\lim \frac{2n+1}{3n+2}=\frac{2}{3}<1$ — сходится, степень $n$ растворилась в корне.

Ряд $\sum {\left(\frac{\ln n}{n}\right)}^n$: корень даёт $\frac{\ln n}{n}\to 0$ — сходится. А ряд $\sum {\left(1-\frac{1}{n}\right)}^n$? Корень стремится к единице, признак молчит — но необходимое условие подсказывает ответ: ${\left(1-\frac{1}{n}\right)}^n\to e^{-1}\ne 0$, ряд расходится. Дешёвая проверка первой — всегда.

Интегральный признак: сумма как площадь#

Условия: $f(x)$ непрерывна, положительна и убывает с некоторого номера. Тогда члены ряда — значения функции в целых точках, и сумма зажата между интегралами: ${\int }_{N+1}^{\infty }f\le {\sum }_{n=N+1}^{\infty }f(n)\le {\int }_N^{\infty }f$. Конечный интеграл — конечная сумма, бесконечный — бесконечная. Техника несобственных интегралов — в уроке несобственные интегралы.

Алгоритм: пять шагов#

1. 1
   Определите форму члена. Вся конструкция в степени $n$ — радикальный признак: считайте $\lim \sqrt[n]{a_n}$.
2. 2
   Член — гладкая функция $f(n)$, а Даламбер дал $\rho =1$ — интегральный признак: составьте ${\int }_N^{\infty }f(x)dx$.
3. 3
   Найдите первообразную; для логарифмов честно выписывайте замену $t=\ln x$.
4. 4
   Оцените несобственный интеграл: конечен — ряд сходится, бесконечен — расходится.
5. 5
   Радикальный признак при $\rho =1$ молчит так же, как Даламбер, — тогда сравнение с $p$-рядом или интегральный.

Разбор: интегральный признак на близнецах#

Пара рядов, которую Даламбер не различает: $\sum \frac{1}{n^2+1}$ и $\sum \frac{n}{n^2+1}$. Отношение соседей у обоих стремится к единице. Интегральный признак расставляет всё: для первого ${\int }_1^b\frac{dx}{x^2+1}=\arctan b-\frac{\pi }{4}\to \frac{\pi }{4}$ — конечен, ряд сходится; для второго ${\int }_1^b\frac{xdx}{x^2+1}=\frac{1}{2}\ln (b^2+1)-\frac{1}{2}\ln 2\to \infty$ — ряд расходится.

Классика со знаком «осторожно»: $\sum \frac{1}{n\ln n}$ при $n\ge 2$. Замена $t=\ln x$, $dt=\frac{dx}{x}$: интеграл превращается в $\int \frac{dt}{t}=\ln t=\ln (\ln x)$ — уходит на бесконечность, ряд расходится. Добавьте квадрат: $\sum \frac{1}{n{\ln }^{2}n}$ даёт $\int \frac{dt}{t^2}=-\frac{1}{t}$ — конечен, ряд сходится. Одна степень при логарифме — и судьба ряда перевёрнута.

Четыре типовые ошибки#

• Тащить радикальный признак туда, где нет степени $n$: корень из $\frac{1}{n^2}$ ничего не упрощает — это территория признаков сравнения.
• Решить, что $\sqrt[n]{n}\to 1$ значит «корень съедает всё». Фиксированное основание — да; растущее вместе с $n$, как $n^2$ или $\ln n$, — только через предел.
• Применять интегральный признак без проверки монотонности: для возрастающей $f$ сравнение с площадью рушится.
• Забыть нижний предел интегрирования $N$ и интегрировать от нуля — под интегралом может встать $\ln 0$.