Признаки сравнения рядов: прямой и предельный

Ряд $\sum \frac{n+1}{n^3+2}$ не берёт ни необходимый признак, ни Даламбера без подготовки: предел отношения соседей не считается в одну строку. Классический ход — притащить эталон: ряд с известным вердиктом, похожий по поведению на старший член. Сравнили — перенесли вердикт. Оба признака сравнения, прямой и предельный, работают в паре с решателем рядов, который сам подбирает эталон.

Идея: вердикт переезжает с эталона на ряд#

Эталонов немного, и они все наизусть: геометрический ряд $\sum q^n$ сходится при $q<1$, обобщённый гармонический $\sum \frac{1}{n^p}$ сходится при $p>1$ и расходится при $p\le 1$. Вся работа сводится к угадыванию эталона по главной части члена: $\frac{n+1}{n^3+2}\sim \frac{n}{n^3}=\frac{1}{n^2}$ — берите $p$-ряд с $p=2$.

Алгоритм: пять шагов#

1. 1
   Выделите главную часть общего члена: оставьте старшие степени $n$, выбросьте мелочь. $\frac{2n+3}{n^4-1}\sim \frac{2n}{n^4}=\frac{2}{n^3}$.
2. 2
   Назначьте эталон $\sum b_n$ по этой главной части — чаще всего $p$-ряд или геометрический.
3. 3
   Для прямого признака найдите номер, с которого $a_n\le b_n$ (или $a_n\ge b_n$ для расходимости), и перенесите вердикт эталона.
4. 4
   Для предельного посчитайте $k=\lim \frac{a_n}{b_n}$: конечен и положителен — ряды ведут себя одинаково.
5. 5
   $k=0$ или $k=\infty$ — сравнение не отвечает; смените эталон или переходите к интегральному признаку.

Разбор флагманского примера#

Исследуем $\sum \frac{n+1}{n^3+2}$ предельным признаком. Главная часть — $\frac{n}{n^3}=\frac{1}{n^2}$, эталон $b_n=\frac{1}{n^2}$. Предел: $k=\lim \frac{(n+1)n^2}{n^3+2}=\lim \frac{n^3+n^2}{n^3+2}=1$. Ноль меньше единицы, единица конечна — вердикт эталона переезжает на наш ряд. Эталон $\sum \frac{1}{n^2}$ сходится ($p=2>1$), значит, и исходный ряд сходится.

Теперь расходящийся близнец: $\sum \frac{1}{2n+3}$. Главная часть $\frac{1}{2n}$, эталон — гармонический ряд. $k=\lim \frac{n}{2n+3}=\frac{1}{2}$ — конечен и положителен. Гармонический эталон расходится, ряд расходится вместе с ним. Третий ход — прямой признак без всяких пределов: $\sum \frac{1}{n^2+n}$. Знаменатель $n^2+n\ge n^2$, поэтому $\frac{1}{n^2+n}\le \frac{1}{n^2}$ — мажорируется сходящимся эталоном, сходимость. Один взгляд, ноль вычислений.

Три типовые ошибки#

• Сравнить с расходящимся эталоном «сверху»: из $a_n\le b_n$ и расходимости $\sum b_n$ ничего не следует. Расходящемуся эталону ряд должен быть не меньше: $a_n\ge b_n$.
• Считать, что $k=0$ запрещает вывод. Не запрещает: при $k=0$ и сходящемся эталоне ряд сходится (тает быстрее эталона). Тупик возникает только при $k=0$ с расходящимся эталоном.
• Забыть про «с некоторого номера»: неравенство обязано выполняться начиная с какого-то $N$, а конечное начало ряда на вердикт не влияет.