📈 Матанализ

Как исследовать сходимость ряда

Q: Чем абсолютная сходимость отличается от условной?

Абсолютно сходящийся ряд $\sum |a_n|$ ведёт себя как конечная сумма: члены можно переставлять и группировать — сумма не изменится. Условно сходящийся ряд (как $\sum \frac{(-1)^n}{n}$) держится на взаимном гашении знаков: перестановка членов может изменить его сумму, а при неудачной перестановке — разрушить сходимость.

Пошаговое дерево признаков: необходимое условие, телескоп и геометрический, сравнение, Даламбер, Коши, интегральный, Лейбниц, абсолютная и условная сходимость. Разбор ряда по Даламберу и таблица «вид ряда → признак».

Сложность: Первый курс 2 схемы действий

Числовой ряд $\sum a_{n}$ — бесконечная сумма, и вопрос к ней всегда один: сходится или расходится? Прямым вычислением частичных сумм это почти никогда не делается — вместо этого работает дерево признаков: взглянули на общий член, выбрали признак, получили вердикт. Определения частичных сумм и строгая теория — в уроке числовые ряды и в термине ряд, здесь — маршрут по дереву.

Дерево устроено от дешёвых проверок к дорогим: сначала необходимое условие (оно отсекает расходящиеся ряды одним взглядом на предел), затем простые модели — телескоп и геометрическая прогрессия, дальше признаки сравнения, Даламбер, Коши и интегральный. Знакочередующиеся ряды живут в отдельной ветке: у них свой признак Лейбница и своя развилка «абсолютная или условная сходимость».

Как исследовать ряд на сходимость: алгоритм#

Необходимое условие: проверьте $a_{n} \to 0$ (пределы последовательностей — в уроке предел последовательности). Предел не ноль — ряд расходится, исследование закончено. Предел ноль — продолжаем: условие необходимо, но недостаточно (гармонический ряд $\sum \frac{1}{n}$ расходится, хотя $\frac{1}{n} \to 0$ ).
Телескоп: если $a_{n} = b_{n} - b_{n + 1}$ , частичная сумма схлопывается в $b_{1} - b_{n + 1}$ — вердикт по пределу.
Геометрический вид: $a_{n} = c q^{n}$ сходится при $∣ q ∣ < 1$ (сумма $\frac{c}{1 - q}$ ) и расходится при $∣ q ∣ \geq 1$ .
Прямой признак сравнения: $0 \leq a_{n} \leq b_{n}$ — судьба ряда повторяет судьбу эталона: сходится $\sum b_{n}$ — сходится и $\sum a_{n}$ , расходится эталон — расходится наш ряд.
Предельный признак сравнения: $c = lim \frac{a _{n}}{b _{n}}$ , $0 < c < \infty$ — ряды ведут себя одинаково. Эталоны: $p$ -ряд $\sum \frac{1}{n ^{p}}$ (сходится при $p > 1$ ) и геометрический.
Признак Даламбера: есть факториалы и степени $a^{n}$ — считайте $ρ = lim \frac{a _{n + 1}}{a _{n}}$ . $ρ < 1$ — сходится, $ρ > 1$ — расходится, $ρ = 1$ — признак молчит.
Радикальный признак Коши: весь общий член под $n$ -й степенью — считайте $ρ = lim n a_{n}$ с тем же правилом.
Интегральный признак: общий член — значение монотонно убывающей $f (n)$ (как у $\frac{1}{n l n n}$ ) — ряд ведёт себя как несобственный интеграл $\int_{1}^{\infty} f (x) d x$ ; этим признаком и доказана судьба $p$ -рядов.
Знакочередующийся ряд $\sum (- 1)^{n} u_{n}$ — признак Лейбница: $u_{n}$ монотонно убывает к нулю — ряд сходится. Затем исследуйте $\sum u_{n}$ : сходится — абсолютная сходимость, расходится — условная.

Практическое правило выбора: многочлены сравниваются с $p$ -рядами, факториалы и показатели — Даламбером, всё выражение в $n$ -й степени — Коши, логарифмы при $1/ n$ — интегральным признаком. Признаки Даламбера и Коши при $ρ = 1$ вердикта не дают — это не «расходится», а «идите другим признаком».

Пример исследования ряда на сходимость#

Исследуем $\sum \frac{n ^{2}}{3 ^{n}}$ — типовой «признаковый» номер контрольных: многочлен в числителе, показательная функция в знаменателе. Степени на обеих этажах — сигнал признака Даламбера.

Необходимое условие: $\frac{n ^{2}}{3 ^{n}} \to 0$ — показательная $3^{n}$ растёт быстрее любой степени $n^{2}$ . Против сходимости не возразишь, но и доказана сходимость пока не была.
Общий член: $a_{n} = \frac{n ^{2}}{3 ^{n}}$ , тогда $a_{n + 1} = \frac{( n + 1 ) ^{2}}{3 ^{n + 1}}$ . Составляем отношение:
$\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{( n + 1 ) ^{2}}{3 ^{n + 1}} \cdot \frac{3 ^{n}}{n ^{2}} = \frac{1}{3} \cdot (\frac{n + 1}{n})^{2} = \frac{1}{3} (1 + \frac{1}{n})^{2}$ .
Предел: $(1 + \frac{1}{n})^{2} \to 1$ , значит $ρ = \frac{1}{3}$ .
$ρ = \frac{1}{3} < 1$ — ряд сходится по признаку Даламбера.
Контроль здравым смыслом: $3^{n}$ давит $n^{2}$ всё сильнее с ростом $n$ (сравните $n = 10$ : $100/59049$ ) — члены действительно обваливаются к нулю.

Почему не признак сравнения? Можно было бы: начиная с некоторого $n$ выполнено $\frac{n ^{2}}{3 ^{n}} < \frac{1}{2 ^{n}}$ — но доказывать это неравенство муторнее, чем посчитать предел отношения. Даламбер здесь и быстрее, и надёжнее.

ρ = n \to \infty lim \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} < 1 \Rightarrow \sum a_{n} сходится, n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{p}} {сходится, расходится, p > 1, p \leq 1.

признак Даламбера (

ρ > 1

— расходится,

ρ = 1

— без вердикта) и эталонный

p

-ряд — главный эталон признаков сравнения

Вид общего члена	Признак	Вердикт
$a_{n} \neq \to 0$	необходимое условие	расходится, дальше можно не смотреть
телескоп: $a_{n} = b_{n} - b_{n + 1}$ ; прогрессия $c q^{n}$	частичные суммы	сходится при конечном пределе $b_{n}$ ; при $∣ q ∣ < 1$
$a_{n} \sim \frac{c}{n ^{p}}$ или $c q^{n}$	предельный признак сравнения	вердикт эталонного $p$ -ряда
факториалы, степени: $n!$ , $2^{n} n^{2}$ , $3^{n}$	Даламбер: $lim \frac{a _{n + 1}}{a _{n}}$	$ρ < 1$ — сходится, $ρ > 1$ — расходится
всё выражение в $n$ -й степени	Коши: $lim n a_{n}$	то же правило $ρ ≶ 1$
$\frac{1}{n l n n}$ и убывающие $f (n)$	интегральный признак	как ведёт себя $\int_{1}^{\infty} f (x) d x$
знакочередующийся $(- 1)^{n} u_{n}$	Лейбниц + ряд из модулей	сходится при $u_{n} ↓ 0$ ; модули сходятся — абсолютная

Вид ряда → признак: карта распознавания

Сами: исследуйте $\sum \frac{2 ^{n}}{n !}$

Открывай шаги

Сначала попробуйте сделать шаг сами, потом открывайте и сверяйтесь. За полный проход начисляется XP.

Типичные ошибки

Первая — Даламбер для многочленов: у

\sum \frac{2 n + 1}{3 n ^{2} + 2}

отношение

\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} \to 1

, признак молчит, а новички пишут «сходится» или «расходится» — многочлены обрабатываются сравнением с

p

-рядом. Вторая — пропущенное необходимое условие: если

a_{n} \to 1/2

, ряд расходится мгновенно, а вы уже полстраницы считали отношение. Третья — перепутать условную и абсолютную сходимость:

\sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}

сходится по Лейбницу, но ряд из модулей — расходящийся гармонический, это условная сходимость, и переставлять её члены нельзя. Четвёртая — вывод «

ρ = 1

, значит расходится»: единица означает «признак ответа не дал».

Проверь себя+15 XP

Что скажет признак Даламбера о ряде $\sum \frac{n + 1}{n ^{2} + 1}$ ?

Проверь себя+15 XP

Ряд $\sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ — какой сходимости?

Частые вопросы

Даламбер и Коши дали $ρ = 1$ — что делать?

Оба признака молчат — обычная история для рядов из многочленов. Определите главный порядок общего члена на бесконечности (например, $a_{n} \sim \frac{2}{n ^{3}}$ ) и примените предельный признак сравнения с $p$ -рядом. Если в членах есть логарифмы ( $\frac{1}{n l n n}$ ) — интегральный признак.

Чем абсолютная сходимость отличается от условной?

Абсолютно сходящийся ряд $\sum ∣ a_{n} ∣$ ведёт себя как конечная сумма: члены можно переставлять и группировать — сумма не изменится. Условно сходящийся ряд (как $\sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ ) держится на взаимном гашении знаков: перестановка членов может изменить его сумму, а при неудачной перестановке — разрушить сходимость.

Зачем проверять $a_{n} \to 0$ , если дальше всё равно применяю признак?

Во-первых, экономия: если предел не ноль, ответ «расходится» стоит одной строчки вместо страницы с отношением. Во-вторых, дисциплина: признаки сравнения и Даламбера формулируются для рядов с положительными членами, стремящимися к нулю, — пропуск проверки приводит к абсурдным «доказательствам» сходимости расходящихся рядов.

Куда дальше: строгая теория — в уроке числовые ряды, куда ряды растут дальше — в степенных рядах и термине ряд Тейлора. Все признаки на одном листе — в шпаргалке по рядам, набить руку — в тренажёре по рядам. Половина работы с рядами — пределы: их разбор живёт в как решать пределы, а интегральный признак опирается на несобственные интегралы из разбора как решать интегралы.

Как исследовать ряд на сходимость: алгоритм#

Пример исследования ряда на сходимость#

Сами: исследуйте ∑n!2n​

Частые вопросы

Даламбер и Коши дали ρ=1 — что делать?

Чем абсолютная сходимость отличается от условной?

Зачем проверять an​→0, если дальше всё равно применяю признак?

Сами: исследуйте ∑n!2n​

Сами: исследуйте $\sum \frac{2 ^{n}}{n !}$

Даламбер и Коши дали $ρ = 1$ — что делать?

Зачем проверять $a_{n} \to 0$ , если дальше всё равно применяю признак?

Сами: исследуйте $\sum \frac{2 ^{n}}{n !}$