📈 Матанализ

Ряд Тейлора

Q: Чем ряд Тейлора отличается от ряда Маклорена?

Только точкой разложения: Маклорен — это Тейлор при $a = 0$. В нуле производные обычно считать проще, поэтому Маклорен встречается чаще; в общей формуле точку $a$ выбирают поближе к той области, где функция нужна.

Q: Как оценить погрешность, если взять только первые члены?

Остаточным членом Лагранжа: $R_n = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}$ для некоторой точки $\xi$ между $a$ и $x$. Для $e^{0.1}$ максимум производной меньше двух, поэтому $|R_4| < 2 \cdot \frac{0.1^5}{120} < 2 \cdot 10^{-7}$ — вот откуда гарантия шести знаков.

Q: Любая ли функция раскладывается в ряд Тейлора?

Нет. Нужны производные всех порядков — у $|x|$ в нуле беда уже со второй. Есть и более тонкая ловушка: у функции $e^{-1/x^2}$ все производные в нуле равны нулю, ряд выходит тождественно нулевым, а функция — нет. Совпадение ряда с функцией проверяют, а не постулируют.

Q: Что значит «радиус сходимости равен 1»?

Ряд сходится к функции при $|x - a| < 1$ и расходится вне интервала. У геометрического ряда на границе $x = -1$ частичные суммы скачут между нулём и единицей — сходимости нет; а при $x = 1$ не определена и сама сумма $\frac{1}{1-x}$.

англ. Taylor series

Представление функции в виде бесконечной суммы степеней (x − a): по значениям всех производных в одной точке функция восстанавливается целиком.

Ряд Тейлора — способ переписать «хорошую» функцию в виде бесконечного многочлена. Идея честная: если знать все производные функции в одной точке, то о функции известно всё — и её можно заново собрать из кирпичиков $1, (x - a), (x - a)^{2}, (x - a)^{3}, \dots$ Каждый кирпичик взвешен своей производной, делённой на факториал. Опора всей конструкции — понятие ряда: бесконечной суммы, у которой есть частичные суммы и предел.

f (x) = n = 0 \sum \infty \frac{f ^{(n)} ( a )}{n !} (x - a)^{n}, при a = 0 — ряд Маклорена

коэффициенты читаются прямо из производных в точке a

Любимый пример — экспонента. Все производные $e^{x}$ равны $e^{x}$ , в нуле каждая равна единице, и разложение выходит безупречно ровным: $e^{x} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{6} + \dots$ Проверим в числах: $e^{0.1} \approx 1 + 0.1 + 0.005 + 0.000167 + 0.0000042 = 1.105171$ — совпадает с калькулятором до шестого знака. Пять слагаемых вместо предельного перехода — вот почему рядами пользуются физики, программисты и все, кому нужен ответ «на глаз».

Пять разложений, которые спрашивают всегда

Знаю: 0/5

Кликните карточку, чтобы перевернуть. Отмечайте выученное — счётчик в шапке покажет прогресс.

1 / 5

Разложение

e^{x}

Зачем всё это? Ряд — калькулятор для занятых: пределы с неопределённостью раскрываются выписыванием двух-трёх членов, приближённые вычисления делаются в уме, а физика вообще живёт на обрезанных рядах: маятник качается по закону $sin θ \approx θ$ , и до углов около $1 4^{\circ}$ такая замена врёт меньше чем на один процент. Откуда берётся формула и сколько стоит обрезание — тема урока про формулу Тейлора с остаточным членом Лагранжа.

Ряд Тейлора — частный случай степенного ряда, а у всякого степенного ряда есть радиус сходимости: за его границей равенство перестаёт работать, как бы ни хотелось. Как искать радиус и что происходит на концах интервала — в уроке про степенные ряды. Производные для коэффициентов удобно снимать с таблицы производных, а предельные трюки с разложениями отрабатываются в тренажёре пределов.

Частые вопросы

Чем ряд Тейлора отличается от ряда Маклорена?

Только точкой разложения: Маклорен — это Тейлор при $a = 0$ . В нуле производные обычно считать проще, поэтому Маклорен встречается чаще; в общей формуле точку $a$ выбирают поближе к той области, где функция нужна.

Как оценить погрешность, если взять только первые члены?

Остаточным членом Лагранжа: $R_{n} = \frac{f ^{(n + 1)} ( ξ )}{( n + 1 )!} (x - a)^{n + 1}$ для некоторой точки $ξ$ между $a$ и $x$ . Для $e^{0.1}$ максимум производной меньше двух, поэтому $∣ R_{4} ∣ < 2 \cdot \frac{0. 1 ^{5}}{120} < 2 \cdot 1 0^{- 7}$ — вот откуда гарантия шести знаков.

Любая ли функция раскладывается в ряд Тейлора?

Нет. Нужны производные всех порядков — у $∣ x ∣$ в нуле беда уже со второй. Есть и более тонкая ловушка: у функции $e^{- 1/ x^{2}}$ все производные в нуле равны нулю, ряд выходит тождественно нулевым, а функция — нет. Совпадение ряда с функцией проверяют, а не постулируют.

Что значит «радиус сходимости равен 1»?

Ряд сходится к функции при $∣ x - a ∣ < 1$ и расходится вне интервала. У геометрического ряда на границе $x = - 1$ частичные суммы скачут между нулём и единицей — сходимости нет; а при $x = 1$ не определена и сама сумма $\frac{1}{1 - x}$ .

пошагово

Ряд на сходимость

Найти радиус сходимости ряда Тейлора

Радиус сходимости считается по Даламберу: решатель возьмёт предел отношения коэффициентов.

Открыть решатель