Почему $(uv)' \ne u'v'$?

Производная — предел приращения, а приращение произведения содержит перекрёстное слагаемое: $\Delta(uv) = u\,\Delta v + v\,\Delta u + \Delta u \, \Delta v$. После деления на $\Delta x$ и перехода к пределу остаётся $uv' + u'v$ — плюс, а не произведение. Проверка на $x \cdot x = x^2$ сразу показывает $2x$.

📈 Матанализ

Как решать производные

Q: Что делать с $x^x$?

Логарифмическое дифференцирование: $\ln y = x \ln x$, значит $\frac{y'}{y} = \ln x + 1$ и $y' = x^x (\ln x + 1)$. Ни таблица, ни цепочка по отдельности не работают: в основании и в показателе стоят разные функции от $x$.

Рабочий алгоритм дифференцирования: таблица, сумма, произведение и частное, цепочка сложной функции, логарифмическое и неявное дифференцирование. Пример со звёздочкой и типичные ошибки.

Сложность: База 2 схемы действий

Производная — это скорость изменения функции, и почти вся техника её поиска умещается в таблицу плюс три правила: сумма, произведение и сложная функция. Определение и геометрический смысл (касательная) — в уроке производная: определение; здесь — рабочий алгоритм, по которому дифференцируется любая формула из контрольной.

Общий принцип один: идите от внешней структуры к внутренним кускам. Сначала спросите, какая операция в выражении последняя — сложение, умножение, деление или композиция? Примените соответствующее правило, затем спускайтесь к каждой части отдельно. Почти все ошибки рождаются из попытки «схватить всё сразу».

Как найти производную: алгоритм по шагам#

Упростите выражение: раскройте скобки, разбейте дроби, перепишите $x = x^{1/2}$ и $\frac{1}{x} = x^{- 1}$ — так функция приблизится к табличным формам.
Табличные куски: $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ , $(e^{x})^{'} = e^{x}$ , $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ , $(sin x)^{'} = cos x$ , $(cos x)^{'} = - sin x$ — полная таблица лежит в шпаргалке.
Константа выносится, сумма дифференцируется почленно: $(c f)^{'} = c f^{'}$ , $(f \pm g)^{'} = f^{'} \pm g^{'}$ .
Последняя операция — умножение или деление? Правила: $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ и $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ . Определите $u$ и $v$ по последней операции, не раньше.
Встретилась функция в функции — цепочка снаружи-внутрь: $(f (g (x)))^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$ . Сначала производная внешней функции при «замороженном» внутреннем аргументе, затем умножение на производную внутренности.
Степенно-показательная $x^{x}$ (и любой вид $u (x)^{v (x)}$ ) — логарифмическое дифференцирование: прологарифмируйте $ln y = x ln x$ , продифференцируйте обе части, выразите $y^{'}$ .
Неявная функция $F (x, y) = 0$ : дифференцируйте всё равенство по $x$ , считая $y$ функцией от $x$ (каждое её появление тянет за собой множитель $y^{'}$ ), после чего выразите $y^{'}$ из получившегося уравнения.

Пример нахождения производной с решением#

Типовой номер «со звёздочкой»: $y = x^{2} sin 3 x$ . Здесь за один ход встречаются произведение и сложная функция — две главные ловушки темы.

Последняя операция — умножение, значит работает правило произведения: $u = x^{2}$ , $v = sin 3 x$ .
Дифференцируем $u$ : $u^{'} = 2 x$ — табличная степень, ничего сложного.
$v$ — сложная функция: снаружи синус, внутри $3 x$ . По цепочке: $v^{'} = cos 3 x \cdot (3 x)^{'} = 3 cos 3 x$ . Множитель $3$ — производная внутренней — обязан появиться.
Собираем: $y^{'} = u^{'} v + u v^{'} = 2 x sin 3 x + x^{2} \cdot 3 cos 3 x = 2 x sin 3 x + 3 x^{2} cos 3 x$ .
Проверка в точке $x = 0$ : $y^{'} (0) = 0 + 0 = 0$ — касательная горизонтальна: множитель $x^{2}$ прижимает график к оси в начале координат.

(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}, (f (g (x)))^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)

два правила, на которых держится дифференцирование: произведение и цепочка сложной функции

Вид функции	Правило	Пример
сумма, константа · $f$	почленно, константа выносится	$(5 x^{2})^{'} = 10 x$
табличная: $x^{n}$ , $e^{x}$ , $sin$ , $ln$	таблица производных	$(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$
произведение $u \cdot v$	$(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$	$x^{2} sin 3 x$
частное $\frac{u}{v}$	$\frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$	$\frac{s i n x}{x}$
сложная $f (g (x))$	цепочка снаружи-внутрь	$(sin 5 x)^{'} = 5 cos 5 x$
степенно-показательная $u^{v}$	логарифмическое дифференцирование	$(x^{x})^{'} = x^{x} (ln x + 1)$
неявная $F (x, y) = 0$	дифференцировать всё по $x$ , выразить $y^{'}$	$x^{2} + y^{2} = R^{2}$ : $y^{'} = - \frac{x}{y}$

Вид функции → правило: как выбрать инструмент

Касательная под вашим пальцем

Тащи точку!

Схватите точку на кривой $y = x^{2} sin 3 x$ и потащите — касательная (зелёная) всегда показывает мгновенную скорость. Включите «секущую», чтобы увидеть, как при уменьшении $h$ секущая поворачивается в касательную: в этом и есть предел $l i m_{h \to 0} \frac{f ( x _{0} + h ) - f ( x _{0} )}{h}$ .

x₀

0.80

f(x₀)

0.43

f′(x₀) — касательная

-0.335

Заметьте: там, где кривая круче, касательная — круче. Производная и есть «крутизна».

Проверь себя+15 XP

Чему равна $(cos 5 x)^{'}$ ?

Проверь себя+15 XP

Дифференцируем $(\frac{x ^{2}}{l n x})^{'}$ . Какое правило применяется последним?

Частые вопросы

Что делать с $x^{x}$ ?

Логарифмическое дифференцирование: $ln y = x ln x$ , значит $\frac{y ^{'}}{y} = ln x + 1$ и $y^{'} = x^{x} (ln x + 1)$ . Ни таблица, ни цепочка по отдельности не работают: в основании и в показателе стоят разные функции от $x$ .

Почему $(uv)^{'} \neq = u^{'} v^{'}$ ?

Производная — предел приращения, а приращение произведения содержит перекрёстное слагаемое: $Δ (uv) = u Δ v + v Δ u + Δ u Δ v$ . После деления на $Δ x$ и перехода к пределу остаётся $u v^{'} + u^{'} v$ — плюс, а не произведение. Проверка на $x \cdot x = x^{2}$ сразу показывает $2 x$ .

Как проверить, что производная найдена верно?

Подставьте удобную точку и сверьтесь с графиком: наклон касательной должен совпасть. Или продифференцируйте иначе — раскройте скобки, примените другое правило — и сравните ответы. Мгновенную обратную связь даёт тренажёр производных.

Куда дальше: вся таблица на одном листе — в шпаргалке с таблицей производных, живая касательная — в интерактиве выше и в тренажёре производных. Термин производная разобран в словаре; следующий навык — полный разбор как исследовать функцию и построить график, где производные становятся инструментом, а не целью.

Как найти производную: алгоритм по шагам#

Пример нахождения производной с решением#

Касательная под вашим пальцем

Частые вопросы

Что делать с xx?

Почему (uv)′=u′v′?

Как проверить, что производная найдена верно?

Касательная под вашим пальцем

Что делать с $x^{x}$ ?

Почему $(uv)^{'} \neq = u^{'} v^{'}$ ?