Как решать матрицы и определители

Определитель — число, которое квадратная матрица сворачивает в одну величину: для $2\times 2$ это $ad-bc$, для больших — площадь/объём с учётом ориентации. Он решает судьбу матрицы: $\det A\ne 0$ — матрица обратима, система имеет единственное решение, Крамер работает; $\det A=0$ — всё перечисленное рушится. Поэтому 80% задач темы начинается с одной операции: посчитать определитель. Теория — в уроке определители, здесь — техника счёта и обращения.

Вторая часть темы — операции с самими матрицами: умножение (строка на столбец, с ограничением на размеры), транспонирование и обратная матрица через алгебраические дополнения. Операции описаны в уроке матрицы и операции, а обратная с альтернативным методом Гаусса — в уроке обратная матрица. Разберём по порядку.

Как решать матрицы и определители: алгоритм#

1. 1
   Определите тип задачи: посчитать $\det$, выполнить операции ($AB$, $A^T$, $A^{-1}$) или решить систему через матрицы. От типа зависит инструмент.
2. 2
   $\det$ матрицы $2\times 2$ — мгновенно: $\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc$. Это базовый кирпич для всех остальных случаев.
3. 3
   $\det$ матрицы $3\times 3$ без нулей — правило треугольников (Саррюса): три произведения «по главной диагонали и параллелям» плюс, три «по побочной» минус. Записывайте шесть слагаемых столбиком, чтобы не потерять знак.
4. 4
   $\det$ большой матрицы или матрицы с нулями — ноль-стратегия: разложение по строке или столбцу, где нулей больше. Каждое слагаемое — $a_{ij}\cdot (-1{)}^{i+j}\cdot M_{ij}$, где $M_{ij}$ — минор, определитель вычеркнутой строки и столбца. Нулевые слагаемые отмирают сами.
5. 5
   $\det$ матрицы $4\times 4$ и больше — либо последовательное разложение, либо приведение к треугольному виду элементарными преобразованиями строк (не забывайте: перестановка двух строк меняет знак определителя).
6. 6
   Умножение матриц: $(m\times n)\cdot (n\times k)$ определено, когда внутренние размеры совпали; элемент $c_{ij}$ — сумма произведений $i$-й строки левой матрицы на $j$-й столбец правой. Порядок важен: $AB\ne BA$.
7. 7
   Транспонирование $A^T$ — строки становятся столбцами. Определитель при этом не меняется: $\det A^T=\det A$ — удобно, когда столбец удобнее строки.
8. 8
   Обратная матрица: проверьте $\det A\ne 0$, найдите все алгебраические дополнения $A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$, запишите их транспонированными в союзную матрицу и поделите на $\det$. Обязательная проверка: $A\cdot A^{-1}=E$.

Пример решения матриц по шагам#

Посчитаем $\det A$ для $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 3\\ 1& 4& 1\\ 5& 0& 2\end{array}\right)$ разложением по первой строке. В первой строке есть ноль — ноль-стратегия и разложение по строке совпали: среднее слагаемое умрёт, останутся два минора.

1. 1
   Расписываем схему: $\det A=a_{11}{M}_{11}-a_{12}{M}_{12}+a_{13}{M}_{13}$ — знаки по первой строке чередуются $+,-,+$ (это $(-1{)}^{1+j}$).
2. 2
   Минор $M_{11}$: вычёркиваем строку 1 и столбец 1, остаётся $\left|\begin{array}{cc}4& 1\\ 0& 2\end{array}\right|=8-0=8$.
3. 3
   Минор $M_{12}$: вычёркиваем строку 1 и столбец 2, остаётся $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 5& 2\end{array}\right|=2-5=-3$. Слагаемое умножается на $a_{12}=0$ и исчезает — в этом сила ноль-стратегии.
4. 4
   Минор $M_{13}$: вычёркиваем строку 1 и столбец 3, остаётся $\left|\begin{array}{cc}1& 4\\ 5& 0\end{array}\right|=0-20=-20$.
5. 5
   Собираем: $\det A=2\cdot 8-0\cdot (-3)+3\cdot (-20)=16-60=-44$.
6. 6
   Контроль по правилу треугольников: $2\cdot 4\cdot 2+0\cdot 1\cdot 5+3\cdot 1\cdot 0-3\cdot 4\cdot 5-2\cdot 1\cdot 0-0\cdot 1\cdot 2=16+0+0-60-0-0=-44$ — сходится.

Три свойства, которые чаще всего выручают на экзамене: $\det A^T=\det A$ (строку можно заменить столбцом — считайте, как удобнее), $\det (AB)=\det A\cdot \det B$ (определитель произведения равен произведению определителей; отсюда же видна необратимость: если $\det A=0$, то и $\det (AB)=0$) и $\det E=1$. Плюс линейность по строке: общий множитель строки выносится за знак определителя — этим приёмом дроби в матрице превращаются в целые числа.

Мини-пример обратной матрицы: $A=\left(\begin{array}{cc}4& 7\\ 2& 6\end{array}\right)$. Шаг 1: $\det A=24-14=10\ne 0$ — обратная существует. Шаг 2: алгебраические дополнения $A_{11}=6$, $A_{12}=-2$, $A_{21}=-7$, $A_{22}=4$ — те же элементы, но с шахматными знаками. Шаг 3: союзная матрица с транспонированием: $\left(\begin{array}{cc}6& -7\\ -2& 4\end{array}\right)$. Шаг 4: $A^{-1}=\frac{1}{10}\left(\begin{array}{cc}6& -7\\ -2& 4\end{array}\right)$. Проверка умножением: $A\cdot A^{-1}=\frac{1}{10}\left(\begin{array}{cc}10& 0\\ 0& 10\end{array}\right)=E$ — ответ верен.

Связки: определитель — главный инструмент Крамера и совместности систем — об этом в руководстве как решать системы линейных уравнений. Определитель и ранг работают в паре при диагностике систем (урок ранг матрицы). Потренировать счёт — в тренажёре по матрицам, сводка формул векторной алгебры рядом — в шпаргалке по векторной алгебре, термин — в статье определитель.