Обратная матрица: как найти и проверить, два метода

У числа пять есть «отменщик»: единица, потому что $5\cdot \frac{1}{5}=1$. У матрицы тоже есть свой «отменщик» — обратная матрица, которая уничтожает действие исходной: $A\cdot A^{-1}=E$. Это не прихоть учебника. Обратная матрица решает матричные уравнения, восстанавливает исходные данные из преобразованных и стоит за формулой Крамера. Заодно она объясняет, почему делить матрицы нельзя — и что делать вместо этого.

Определение и условие существования#

Обратной для квадратной матрицы $A$ называется матрица $A^{-1}$, которая в произведении с $A$ даёт единичную — причём с обеих сторон:

Главный вопрос — существует ли она вообще. Ответ даёт определитель: обратная матрица существует тогда и только тогда, когда $\det A\ne 0$. Такая матрица называется невырожденной (или неособенной). Если же $\det A=0$, матрица вырождена: она сплющивает плоскость, и никакое последующее умножение не может «разплющить» её обратно — информация о направлении потеряна безвозвратно.

Обратная уникальна: если у $A$ нашлись две «отменщицы» $B$ и $C$, то $B=B(AC)=(BA)C=C$ — обе обязаны совпасть. Поэтому и пишут $A^{-1}$ без двусмысленностей.

Метод первый: через алгебраические дополнения#

Для матрицы $2\times 2$ существует формула-мечта: обратная получается перестановкой диагональных элементов и сменой знаков у побочных, с последующим делением на определитель. В общем виде — через присоединённую матрицу (её ещё называют союзной) $C^{\ast }$, состоящую из алгебраических дополнений, транспонированных на свои места:

Дроби в ответе — это нормально. Многие студенты паникуют, увидев $0.6$ и $-0.7$, и начинают пересчитывать «до красивых чисел». Не надо: обратная матрица почти никогда не бывает красивой, а проверка умножением мгновенно покажет, верный ли у вас ответ.

Метод второй: Гаусс–Жордан над (A | E)#

Для матриц $3\times 3$ и больше алгебраические дополнения утомительны. На практике применяют метод Гаусса: к матрице $A$ приписывают справа единичную и элементарными преобразованиями строк добиваются, чтобы слева встала единичная. То, что окажется справа, — и есть $A^{-1}$.

1. 1
   Записываем расширенную матрицу $(A|E)$ — два блока рядом.
2. 2
   Элементарными преобразованиями строк (поменять, умножить на число, прибавить к строке комбинацию других) приводим левый блок к единичной матрице.
3. 3
   Каждое преобразование применяем ко всей строке — и к правому блоку тоже.
4. 4
   Когда слева получилась $E$, справа стоит $A^{-1}$. Проверяем умножением $A\cdot A^{-1}$ — на экзамене это занимает минуту и спасает полбалльной ошибки.

Почему это работает? Каждая элементарная операция над строками равносильна умножению слева на некоторую матрицу $T$. Прогнав цепочку операций, мы фактически вычислили $T\cdot A=E$, то есть $T=A^{-1}$. Та же цепочка применена к правому блоку даёт $T\cdot E=A^{-1}$ — ровно то, что мы и собирали.

Если в процессе левый блок упирается в нулевую строку, единичной матрицы из него не выйдет. Это не невезение, а диагноз: $\det A=0$, обратной не существует. Метод Гаусса заодно проверяет условие существования.

Свойства обратной матрицы#

• $(A^{-1}{)}^{-1}=A$ — двойная отмена возвращает исходную матрицу
• $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$ — снова переворот порядка, как у транспонирования
• $(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$
• $\det (A^{-1})=\frac{1}{\det A}$ — определитель «переворачивается»
• $(A^n{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^n$ для натуральных $n$

Свойство $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$ стоит проверить в уме: $AB\cdot B^{-1}{A}^{-1}=A(B{B}^{-1})A^{-1}=AE{A}^{-1}=E$. Работает. А вот наивная догадка $(AB{)}^{-1}=A^{-1}{B}^{-1}$ — нет, если только $A$ и $B$ не коммутируют.

Для чего всё это? Для матричных уравнений. Уравнение $AX=B$ решается умножением на $A^{-1}$ слева: $X=A^{-1}B$. Уравнение $XA=B$ — умножением справа: $X=B{A}^{-1}$. Сторона, с которой умножаете, определяется тем, где стоит матрица-«неизвестная». Перепутаете сторону — решите другое уравнение.

Итог: обратная матрица существует тогда и только тогда, когда $\det A\ne 0$; для $2\times 2$ работает формула с перестановкой диагоналей, для больших размеров — Гаусс–Жордан над $(A|E)$. Всегда заканчивайте проверкой умножением. Дальше поговорим о том, как измерить «насколько вырождена» матрица, у которой определитель ноль: это ранг матрицы.

Полный цикл на числах. Пусть $A=\left(\begin{array}{cc}4& 7\\ 2& 6\end{array}\right)$. Шаг первый: $\det A=4\cdot 6-7\cdot 2=24-14=10$ — обратная существует. Шаг второй: диагонали меняются местами, у побочных элементов меняется знак — заготовка $\left(\begin{array}{cc}6& -7\\ -2& 4\end{array}\right)$. Шаг третий: делим всё на определитель, результат в формуле ниже. Шаг четвёртый, который все пропускают и зря: проверка умножением. Левый верхний элемент произведения: $4\cdot 0,6+7\cdot (-0,2)=2,4-1,4=1$. Правый нижний: $2\cdot (-0,7)+6\cdot 0,4=-1,4+2,4=1$. Побочные позиции дают ноль — получилась единичная матрица, обратная найдена верно. Почему проверка так важна? Умножение матриц не прощает ни порядка, ни знаков: одна перевёрнутая разность в союзной матрице проявится только здесь, а ловить её на этом шаге дешевле, чем в конце задачи. Деление на десять можно оставить множителем перед матрицей или внести в элементы, как здесь: оба вида корректны, выбирайте тот, что удобнее для дальнейших вычислений.

Как запомнить

1. Определитель вперёд: ноль — стоп, обратной нет, дорога ведёт к рангу матрицы и методу Гаусса.
2. Размер два на два: диагонали меняются местами, побочные меняют знак, всё делится на det.
3. Размер три и больше: Гаусс–Жордан над склейкой $(A|E)$ — обнуляете столбцы слева, справа сама собирается обратная.
4. Проверка умножением обязательна: произведение в любом порядке обязано дать единичную матрицу.
5. Приятные случаи: $\det A=1$ избавляет от деления, $\det A=-1$ добавляет общий минус — в задачах встречаются постоянно.
6. Свежий словарь терминов ждёт на странице матрица, а набить руку — в тренажёре по матрицам.

Для полноты картины — числовой прогон Гаусса–Жордана, чтобы схема не осталась абстракцией. Склейка $(A|E)$ для нашей матрицы: слева $(4,7;2,6)$, справа единичная. Первая ступенька: вычитаем из второй строки половину первой — слева выходит $(0,2,5)$, справа $(-0,5,1)$. Вторая ступенька: делим вторую строку на $2,5$ — справа выходит $(-0,2,0,4)$. Третья: из первой строки вычитаем семь вторых второй строки, затем делим её на четыре — справа собирается $(0,6,-0,7)$. Слева стоит единичная матрица, справа — та же $A^{-1}$, что и по формуле. Два маршрута, один ответ: небольшой размер позволяет сверить оба способа, большой — нет, поэтому на экзамене выбирают один путь и заканчивают проверкой умножением.