Обратная матрица методом Гаусса

Записали матрицу, дописали справа единичную — и элементарными преобразованиями строк превратили левый блок в единичную матрицу. Справа при этом сама собой соберётся обратная: $(A|E)\to (E|A^{-1})$. Метод Жордана–Гаусса, он же способ присоединённой матрицы, выигрывает у дополнений уже на размере $3\times 3$. Конкретную матрицу посчитает решатель обратной матрицы, а здесь — механика руками.

Идея метода одной строкой#

Почему это работает: каждое элементарное преобразование строк — умножение слева на некоторую обратимую матрицу $S$. Если цепочка преобразований перевела $A$ в $E$, то $SA=E$, а значит, $S=A^{-1}$. Правый блок за то же время превращается из $E$ в $SE=S=A^{-1}$. Никакой магии — просто два счёта в одном бланке.

Есть и второй взгляд: обращение матрицы — это решение $n$ систем сразу. Столбцы правого блока — правые части $n$ систем $AX=e_j$, и Гаусс решает их параллельно, поскольку прямой ход у всех общий. Отсюда и экономия: один прогон вместо $n$ отдельных.

Алгоритм: шесть шагов#

1. 1
   Припишите к $A$ справа единичную матрицу того же размера: получите блочную запись $(A|E)$.
2. 2
   Прямой ход: обнуляйте элементы под главной диагональю левого блока. Ведущий элемент оказался нулём — переставьте строки.
3. 3
   Нормируйте строки: делите каждую так, чтобы на диагонали левого блока стояли единицы.
4. 4
   Обратный ход: обнулите элементы над диагональю вычитанием уже готовых строк.
5. 5
   Левый блок стал единичным — прочитайте $A^{-1}$ из правого блока.
6. 6
   Проверьте умножением: $A\cdot A^{-1}$ обязана дать $E$.

Разбор флагманского примера#

Обращаем $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 1& 3& 6\end{array}\right)$. Дописываем единичную и вычитаем первую строку из второй и третьей, затем из третьей вычитаем удвоенную вторую:

Обратный ход поднимаем снизу вверх: из второй строки вычитаем удвоенную третью, из первой — третью, затем из первой — вторую. Левый блок превращается в $E$, и справа проявляется ответ:

Умножение $A$ на полученную матрицу возвращает $E$ — проверено. Целые числа вышли не случайно: исходный определитель равен единице, поэтому и обратная оказалась целочисленной. Выбирайте такие тренировочные матрицы сами — счёт идёт чище и ошибка виднее.

Гаусс или Жордан: два прохода или один#

Классический вариант — два прохода: сначала нули под диагональю, потом над. Жорданов — один: строкой с ведущим элементом обнуляйте всё и сверху, и снизу сразу. Арифметики за шаг больше, зато промежуточных бланков меньше. Для $3\times 3$ разница невелика — выбирайте то, что требует меньше переписывания. Потренировать саму механику строк можно на степпере:

Дроби, ведущие элементы и диагноз det = 0#

Промежуточные дроби появляются, когда ведущий элемент не делит соседей нацело. Две меры предосторожности: переставляйте строки так, чтобы ведущим становился элемент попроще, и не спешите нормировать — иногда выгоднее вычесть «нужное количество раз» и только потом делить. Если же в левом блоке всплыла нулевая строка, останавливайтесь: ранг меньше размера, $\det A=0$, обратной не существует. Метод сам ставит диагноз, не требуя считать определитель отдельно — в этом его тихое преимущество перед дополнениями.

Три типовые ошибки#

• Трогать столбцы. Перестановка или сложение столбцов меняет саму матрицу так, что правый блок теряет смысл: работаем только со строками.
• Преобразовать левый блок и забыть правый. Правая половина живёт той же жизнью: каждое вычитание и нормировка применяются ко всей строке целиком.
• Остановиться на ступенчатом виде. Треугольник нулей под диагональю — ещё не $E$: без обратного хода справа будет недоделка, а не обратная матрица.