Правило Крамера и матричный метод: формулы и примеры

Метод Гаусса решает всё, но это конвейер: шаг за шагом, строка за строкой. А если система квадратная и маленькая? Тогда есть два конкурента, которые выдают ответ одной-двумя формулами: правило Крамера — через определители, и матричный метод — через обратную матрицу. Они не заменяют Гаусса, но показывают, как красиво устройство линейной алгебры: решение системы — это буквально частное двух чисел.

Правило Крамера#

Постановка: система $n$ уравнений с $n$ неизвестными, записанная в матричном виде $Ax=b$, причём $\det A\ne 0$. Габриэль Крамер заметил в 1750 году: каждую неизвестную можно вычислить как отношение двух определителей.

Логика замены столбца видна из записи $Ax=b$: неизвестная $x_i$ входит в произведение через $i$-й столбец матрицы, а правая часть — через столбец $b$. Решая систему относительно $x_i$, мы как бы «вставляем» ответ на его место.

Сколько стоит Крамер? Для системы $n\times n$ нужно посчитать $n+1$ определитель порядка $n$. Для $3\times 3$ это приятно, для $10\times 10$ — уже издевательство: число слагаемых в определителях растёт как факториал. Поэтому Крамер — инструмент теории и маленьких систем, а в вычислительной практике побеждает Гаусс.

Матричный метод#

Второй подход использует обратную матрицу напрямую. Система $Ax=b$ умножается слева на $A^{-1}$:

Алгоритм короткий: проверить $\det A\ne 0$, найти обратную матрицу, умножить её на столбец свободных членов. Кстати, подставьте сюда явную формулу $A^{-1}=C^{\ast }/\det A$ — и получите правило Крамера как следствие. Два метода — одна идея, просто в Крамере она разложена по компонентам.

1. 1
   Матрица системы: $A=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 1& -1\end{array}\right)$, столбец свободных членов: $b=\left(\begin{array}{c}7\\ -1\end{array}\right)$. $\det A=-5\ne 0$.
2. 2
   Обратная матрица: $A^{-1}=\frac{1}{-5}\left(\begin{array}{cc}-1& -2\\ -1& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0.2& 0.4\\ 0.2& -0.6\end{array}\right)$.
3. 3
   Умножаем: $x=A^{-1}b=\left(\begin{array}{c}0.2\cdot 7+0.4\cdot (-1)\\ 0.2\cdot 7+(-0.6)\cdot (-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$.
4. 4
   Совпало с Крамером: $x=1$, $y=2$. Так и должно быть — решение у системы единственное.

Сторона умножения критична. Если неизвестная стоит слева от матрицы, уравнение $xA=b$ решается как $x=b{A}^{-1}$ — умножением справа. Классическая ошибка на контрольной: писать $A^{-1}b$ там, где нужно $b{A}^{-1}$. Матрицы не коммутируют, и эти два ответа обычно различаются.

Сравнение трёх методов#

Матричный метод особенно удобен в инженерных задачах, где одна и та же матрица встречается с разными правыми частями: посчитали $A^{-1}$ один раз — и дальше каждая новая ситуация решается одним умножением. Именно так устроены решения систем в модели Леонтьева и в фильтрах обработки сигналов.

Крамер и матричный метод — окна в один пейзаж: решение системы живёт в определителях и обратных матрицах. Но у обеих формул есть общий запретный знак — $\det A=0$. Что происходит с системами, у которых правая часть нулевая с самого начала, и почему у них решения образуют целые пространства — тема следующего урока про однородные СЛАУ. Потренировать вычисления можно в тренажёре по матрицам.

Прогоним обе технологии на одной системе: $\{\begin{array}{l}2x+y=7\\ 3x-y=3\end{array}$. Крамер начинает с главного определителя: $\Delta =2\cdot (-1)-1\cdot 3=-5$ — ненулевой, метод открыт. Заменяем первый столбец свободными членами: ${\Delta }_x=7\cdot (-1)-1\cdot 3=-10$, значит $x=(-10)/(-5)=2$. Второй вспомогательный: ${\Delta }_y=2\cdot 3-7\cdot 3=6-21=-15$, откуда $y=(-15)/(-5)=3$. Матричный метод обязан дать то же самое: $A^{-1}=\frac{1}{-5}\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ -3& 2\end{array}\right)$, умножаем на столбец $(7,3)$ и получаем $x=(-7-3)/(-5)=2$, $y=(-21+6)/(-5)=3$. Два разных маршрута, один ответ $(2,3)$ — редкая роскошь двойной проверки. Подстановка подтверждает: $4+3=7$ и $6-3=3$. Разделение труда простое: Крамер быстрее на бумаге, зато матричный метод платит тем, что обратная матрица всё равно нужна — в уравнениях вида $AX=B$ без неё никуда. И ещё одно наблюдение: оба метода работают только при $\Delta \ne 0$ — при нулевом определителе они не выдадут неправильный ответ, а честно откажутся работать.

Как запомнить

1. Главный определитель первым: ноль — метод закрыт, дорога ведёт к Гауссу и рангам.
2. Крамер: свободные члены по очереди занимают каждый столбец главного определителя, остальные не трогаются; затем $x_i={\Delta }_i/\Delta$.
3. Матричный метод: $X=A^{-1}B$; сторона умножения повторяет положение матрицы в уравнении.
4. Проверка подстановкой: два уравнения, тридцать секунд — ни один знак не ускользнёт, ни один столбец не перепутается.
5. Для трёх неизвестных техника та же, определители три на три удобно раскрывать разложением по строке — схема описана в уроке про определители, там же правило знаков.
6. Потренировать оба метода можно в тренажёре по матрицам.

Доведём матричный метод до конца на той же системе — по шагам, как на экзамене. Обратная матрица уже найдена: $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}0,2& 0,2\\ 0,6& -0,4\end{array}\right)$. Умножаем на столбец свободных членов $(7,3)$: первая строка $0,2\cdot 7+0,2\cdot 3=1,4+0,6=2$; вторая строка $0,6\cdot 7-0,4\cdot 3=4,2-1,2=3$. Ответ совпал с Крамером — $(2,3)$, и каждый элемент посчитан честно. Обратите внимание на структуру: умножение на $A^{-1}$ — это три простых скалярных произведения, никаких определителей внутри. Если система трёхмерная, объём работы растёт быстро: обратная матрица требует девяти алгебраических дополнений, а Крамер — четырёх определителей. Поэтому при свободном выборе для трёх неизвестных чаще берут Крамер, а матричный метод оставляют для задач, где $A^{-1}$ нужна сама по себе. И держите под рукой проверку размерностей: столбец умножается только на матрицу подходящего роста. Таблица выбора простая: система два на два — любой метод; три на три — Крамер; нужна обратная — матричный; всё остальное — Гаусс.