Однородные СЛАУ: фундаментальная система решений (ФСР)

Отрежьте у системы уравнений правую часть — получите однородную систему. Кажется, что скучнее нет: ноль всегда есть решение. Но именно такие системы управляют целыми пространствами: ненулевые решения живут бесконечным набором, выстраиваются в базис, а заодно прячутся внутри поиска собственных векторов — одной из вершин всего курса. Разберёмся, когда нулевое решение единственное и как описать все остальные.

Постановка: система с нулевой правой частью#

Однородной системой называют систему $Ax=0$: все свободные члены равны нулю, $m$ уравнений, $n$ неизвестных. Расширенная матрица отличается от обычной только столбцом нулей, поэтому $\mathrm{rang}\tilde{A}=\mathrm{rang}A$ всегда — система совместна при любых коэффициентах. Хоть одно решение у неё есть:

Вся интрига — в ненулевых, нетривиальных решениях. Критерий даёт ранг: однородная система имеет решения, отличные от нуля, тогда и только тогда, когда $\mathrm{rang}A<n$. Для квадратной системы это эквивалентно $\det A=0$.

Фундаментальная система решений#

Бесконечное множество решений хочется описать конечным объектом. Для этого замечают: сумма двух решений — снова решение, решение, умноженное на число, — тоже решение. Множество решений — линейное пространство! Значит, у него есть базис. Фундаментальная система решений (ФСР) — это базис пространства решений: набор из $n-r$ линейно независимых решений, через который выражается любое решение.

ФСР не единственная — как не единственный базис пространства. Но стандартный алгоритм её построения механичен:

1. 1
   Приводим матрицу к ступенчатому виду методом Гаусса, определяем ранг $r$ и число свободных переменных $n-r$.
2. 2
   Главные переменные выражаем через свободные.
3. 3
   Свободным переменным даём наборы значений: $(1,0,\dots ,0)$, $(0,1,\dots ,0)$ и так далее — по единице в одной позиции.
4. 4
   Каждый набор прогоняем через формулы главных переменных — получаем векторы $X_1,\dots ,X_{n-r}$. Это и есть ФСР.
5. 5
   Общее решение: линейная комбинация векторов ФСР с произвольными коэффициентами $c_i$.

Обратите внимание на проверку в шагах 4 и 5: подстановка каждого вектора ФСР в исходную систему занимает секунды, а ловит почти все ошибки знаков. Пропускать проверку — как сдавать карту местности, не сверившись с компасом.

Квадратный случай и связь с собственными векторами#

Для квадратной однородной системы $n\times n$ всё сводится к определителю: нетривиальные решения существуют тогда и только тогда, когда $\det A=0$. В одну сторону — из формулы $x=A^{-1}0$: с обратимой матрицей других решений, кроме нуля, нет. В другую — при $\det A=0$ строки зависимы, ступенчатый вид даёт $r<n$, свободные переменные появляются.

Здесь спрятан мост к финалу курса. Уравнение для собственных векторов матрицы — это $(A-\lambda E)x=0$: однородная система! Нетривиальные решения существуют именно потому, что условие $\det (A-\lambda E)=0$ подобрано специально. Так что умение строить ФСР окупится дважды.

Однородная система — редкий случай, когда «нет правой части» означает «есть целое пространство». Мы научились проверять существование ненулевых решений через ранг и определитель, строить ФСР и понимать её смысл: базис подпространства размерности $n-r$. Дальше возвращаемся в геометрию: векторы и линейные операции — базовый язык для всего, что будет после.

Разберём живой пример. Система $\{\begin{array}{l}x+2y-z=0\\ 2x+y+z=0\end{array}$: два уравнения, три неизвестных, правые части нулевые. Сложим уравнения: $3x+3y=0$, значит $y=-x$. Подставим в первое: $x-2x-z=0$, то есть $z=-x$. Все решения описываются одной строкой: $x=t$, $y=-t$, $z=-t$ при любом $t$. В векторной форме это $t\cdot (1,-1,-1)$ — целая прямая в пространстве, и она обязана проходить через начало координат: однородная система не умеет смещать решения, за смещение отвечает правая часть. Фундаментальная система решений состоит из одного вектора $(1,-1,-1)$; проверка подстановкой в оба уравнения даёт ноль и ноль. Размерность пространства решений $n-r=3-2=1$ — арифметика сходится с картинкой. Забавная инверсия: чем меньше уравнений, тем больше свободы — уберите одно, и прямая разрастётся до плоскости.

Как запомнить

1. Однородная система совместна всегда: нулевое решение лежит в кармане с самого начала, вопрос лишь в том, есть ли другие.
2. Ненулевые решения существуют тогда и только тогда, когда ранг меньше числа неизвестных.
3. Алгоритм: ступенчатый вид, свободные переменные объявляются параметрами, главные выражаются через них снизу вверх.
4. ФСР: подставьте единичные наборы свободных переменных — полученные векторы и есть базис.
5. Размерность пространства решений равна $n-r$; у собственных векторов матриц тот же механизм.
6. Проверка подстановкой во все уравнения — бесплатная страховка от потерянного минуса.

Куда этот навык выстрелит дальше. Собственные векторы матриц — сердцевина анализа колебаний, ранжирования страниц и сжатия данных — ищутся как нетривиальные решения однородной системы $(A-\lambda E)x=0$ с параметром $\lambda$. Схема та же, что в нашем примере: ступеньки, свободные переменные, базис. Прямая $t(1,-1,-1)$ — младший брат собственных подпространств, с которыми вы встретитесь в продвинутых разделах. А пока полезное следствие: однородная система с квадратной матрицей имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель равен нулю — ещё один способ читать нулевой определитель как «строки зависимы».