Ранг матрицы: определение, миноры и метод Гаусса

Определитель — паспорт только для квадратных матриц. А если матрица прямоугольная? А если квадратная, но $\det A=0$ — она ведь всё равно как-то «живёт», сжимает плоскость в прямую? Ранг — число, которое измеряет, сколько независимой информации осталось в матрице. Он существует у любой матрицы любого размера, и именно ранг решает судьбу системы линейных уравнений: будет ли у неё решение и сколько.

Определение через миноры#

Минор $M_{ij}$ — это определитель квадратной матрицы, полученной вычёркиванием одной строки и одного столбца. Обобщение: минор $k$-го порядка — определитель, составленный из элементов, стоящих на пересечении любых $k$ строк и $k$ столбцов. Теперь главный игрок:

Ранг не может превышать меньшего из размеров: $\mathrm{rang}A\le \min (m,n)$. Пример первого уровня: у матрицы $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$ есть минор второго порядка — сама $\det A=-2\ne 0$, значит $\mathrm{rang}A=2$.

А вот матрица $B=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\end{array}\right)$: строки пропорциональны, любой минор второго порядка равен нулю (проверьте: $1\cdot 6-3\cdot 2=0$). Зато миноры первого порядка ненулевые — есть элементы, отличные от нуля. Ответ: $\mathrm{rang}B=1$. Вся информация этой матрицы умещается в одну строку — вторая её просто копирует с множителем 2.

Метод окаймляющих миноров#

Прямолинейная стратегия: перебрать все миноры, начиная с больших порядков. Умная стратегия — окаймляющие миноры: нашли ненулевой минор порядка $k$ — проверяем только те миноры порядка $k+1$, которые его содержат (окаймляют его). Логика: если ненулевой минор есть, то где-то он обязан «вырастать» из уже найденного.

Ненулевой минор максимального порядка называют базисным. В матрице $B$ выше базисный минор стоит в верхнем левом углу — его строки и столбцы называются базисными. Красивый факт: любая строка матрицы выражается через базисные строки (это теорема о базисном миноре), то есть ранг — это и есть число «настоящих» строк, а остальные — их комбинации.

Метод Гаусса: ранг ступенчатой матрицы#

На практике ранг ищут не минорами, а элементарными преобразованиями строк — тем же методом Гаусса. Ключевой факт: элементарные преобразования не меняют ранг. Приводим матрицу к ступенчатому виду (лесенка из нулей под диагональю) и считаем ненулевые строки:

Свойства ранга

• $\mathrm{rang}{A}^T=\mathrm{rang}A$ — строки и столбцы равноправны
• $\mathrm{rang}A=n⟺\det A\ne 0$ для квадратной матрицы $n\times n$
• $\mathrm{rang}(AB)\le \min (\mathrm{rang}A,\mathrm{rang}B)$
• $\mathrm{rang}{E}_n=n$, $\mathrm{rang}O=0$
• ранг не меняется при удалении нулевой строки или нулевого столбца

Зачем ранг нужен: теорема Кронекера–Капелли#

Главная сцена, где ранг выступает судьёй, — системы линейных уравнений. Расширенная матрица $\tilde{A}$ получается из $A$ приписыванием столбца свободных членов. Теорема Кронекера–Капелли: система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\tilde{A}$.

Интуиция: если ранги совпали, столбец свободных членов не приносит ничего нового — он выражается через столбцы $A$, и потому правая часть «достижима». Если же ранг расширенной матрицы на единицу больше, система противоречива. А когда ранги совпали и $\mathrm{rang}A=n$ (число неизвестных), решение единственно; при $\mathrm{rang}A<n$ свободных переменных ровно $n-\mathrm{rang}A$ — и решений бесконечно много. Подробный разбор ждёт вас в уроке про СЛАУ и метод Гаусса.

Ранг — первая величина курса, которая работает и для прямоугольных матриц, и для вырожденных. Именно он решит вопрос о числе решений системы уравнений — а как устроено само решение, разберём в уроке про метод Гаусса. Тренировка вычислений ждёт в тренажёре по матрицам.

Живой пример. Матрица $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 5& 3\\ 1& 3& 2\end{array}\right)$ квадратная, но определитель считать не обязательно — ранг ищем Гауссом. Вычитаем из второй строки удвоенную первую: получается $(0,1,1)$. Из третьей вычитаем первую: снова $(0,1,1)$. Смотрите: вторая и третья строки совпали. Вычитаем из третьей вторую — выходит нулевая строка, ступенчатый вид собран в формуле ниже. Ненулевых строк две, значит ранг равен двум. Кто прячется за третьей строкой? Разность второй и первой: $(1,3,2)$ — ровно она. На глаз строки кажутся независимыми, а Гаусс за два действия разоблачает зависимость. Контрольная сверка: определитель равен нулю, зато минор из первых двух строк и первых двух столбцов $1\cdot 5-2\cdot 2=1$ отличен от нуля — ранг два подтверждён дважды. И заметьте: элементарные преобразования не меняют ранг, но меняют определитель — сравнивать его до и после нельзя, это разные числа: ранг стерпит, определитель — нет.

Как запомнить

1. Веди матрицу к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк: нули под ступеньками.
2. Считай ненулевые строки ступенчатой матрицы — их число и есть ранг; нулевые строки — балласт, их смело игнорируем.
3. Сверка здравым смыслом: ранг не больше меньшего из размеров и не меньше единицы у ненулевой матрицы.
4. Квадратная матрица полного ранга — это ненулевой определитель; ранг минус единица — определитель уже ноль, матрица необратима.
5. Маленькие матрицы проверяй окаймляющими минорами: ненулевой минор порядка два поднимает ранг минимум до двух.
6. Ранг произведения не превосходит рангов сомножителей — полезная скобка в длинных выкладках.
7. Для системы уравнений равенство рангов основной и расширенной матриц даёт совместность — механика описана в методе Гаусса.