Признак Даламбера: исследовать ряд на сходимость

Два ряда-близнеца: $\sum \frac{2^{n}n!}{n^n}$ и $\sum \frac{3^{n}n!}{n^n}$. Формулы различаются одним коэффициентом, а судьба — противоположная: первый сходится, второй разбегается. Глазом это не увидеть, частичными суммами — долго, а признак Даламбера отвечает за две строчки выкладок: делите соседние члены друг на друга, берёте предел — и ряд сам говорит свой вердикт.

Определения и частичные суммы — в уроке числовые ряды и термине ряд; здесь рабочий инструмент: когда включать Даламбера, как считать предел отношения $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ и что делать, когда он отвечает единицей. Полное дерево всех признаков — в гайде как исследовать сходимость ряда.

Где Даламбер стоит в очереди признаков#

Признаки сходимости — не список на выбор, а конвейер от дешёвых проверок к дорогим. Сначала необходимое условие: члены обязаны стремиться к нулю (лимит — в уроке предел последовательности). Потом дешёвые модели — телескоп и геометрическая прогрессия, затем сравнение с эталоном. Даламбер включается, когда в члене ряда виден факториал $n!$, показательная функция $2^n$ или их комбинация: отношение соседних членов у таких конструкций схлопывается почти мгновенно.

Три вердикта одной дроби#

Расшифруем каждый символ. $a_n$ — общий член ряда, $a_{n+1}$ — его сосед справа: чтобы его получить, замените в формуле все $n$ на $n+1$. Дробь $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ измеряет, во сколько раз следующий член отличается от предыдущего. Если каждый следующий меньше предыдущего в фиксированное число раз — ряд сжимается как геометрическая прогрессия и сходится; если растёт — разбегается.

• $\rho <1$ — члены тают по меньшей мере геометрически: ряд сходится;
• $\rho >1$ — с некоторого номера члены растут, к нулю не стремятся: ряд расходится, сработало даже необходимое условие;
• $\rho =1$ — вердикта нет: и $\frac{1}{n}$, и $\frac{1}{n^2}$ дают единицу, а судьба у этих рядов разная. Нужен другой признак.

Откуда берётся вердикт

Ключ — сравнение с геометрической прогрессией. Пусть $\rho <1$: зажмите между ним и единицей число $q$, например $q=\rho +\frac{1-\rho }{2}$. С некоторого номера $\frac{a_{n+1}}{a_n}<q$, и хвост ряда целиком живёт под прогрессией $q^n$, которая суммируется. Пусть $\rho >1$: с некоторого номера $a_{n+1}>a_n$ — члены растут, нуля нет, конец. Доказательство — это признак сравнения, записанный без церемоний.

Из той же логики видна граница применимости: геометрическое сравнение чувствует только экспоненциальное поведение члена. Ряд $\sum \frac{1}{n^2}$ сжимается медленнее любой прогрессии — и признак слепнет. Для полиномиальных скоростей нужен другой инструмент: сравнение с эталонным $p$-рядом или интеграл — об этом на страницах предельного признака сравнения и интегрального признака.

Как применять: четыре шага#

1. 1
   Выпишите $a_n$ и $a_{n+1}$: в члене ряда замените каждый $n$ на $n+1$. Факториал разворачивается как $(n+1)!=(n+1)\cdot n!$, степень — как $3^{n+1}=3\cdot 3^n$: всё для того, чтобы дробь сократилась.
2. 2
   Составьте отношение $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ и сократите всё, что сокращается: обычно остаются константа и поправка вида ${\left(\frac{n}{n+1}\right)}^k$.
3. 3
   Посчитайте предел при $n\to \infty$. Два рабочих предела: ${\left(\frac{n}{n+1}\right)}^n\to \frac{1}{e}$ и ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\to e$ — повторить логику поможет урок предел последовательности.
4. 4
   Сравните $\rho$ с единицей и сформулируйте вывод словами: сходится, расходится или признак молчит. Молчание лечится страницами радикального признака Коши и предельного признака сравнения.

Пример 1. Показательная давит степень#

Исследуем $\sum \frac{n^2}{3^n}$ — классику контрольных: многочлен в числителе, показательная функция в знаменателе. $3^n$ растёт быстрее любого многочлена, сходимость чувствуется кожей; признак Даламбера её оформляет.

1. 1
   Член ряда $a_n=\frac{n^2}{3^n}$, сосед $a_{n+1}=\frac{(n+1{)}^2}{3^{n+1}}$ — каждая $n$ заменена на $n+1$.
2. 2
   Отношение: $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1{)}^2}{3^{n+1}}\cdot \frac{3^n}{n^2}=\frac{1}{3}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^2$. Тройка из знаменателя соседа дала множитель $\frac{1}{3}$.
3. 3
   Предел: скобка стремится к единице, значит $\rho =\frac{1}{3}$ — число, не зависящее от степени многочлена.
4. 4
   $\rho =\frac{1}{3}<1$ — ряд сходится по признаку Даламбера.
5. 5
   Контроль числом: при $n=10$ член равен $\frac{100}{59049}$ — это примерно 0,0017. Члены обваливаются, как и обещал предел.

Пример 2. Факториал против степени#

Факториал $n!$ в члене — прямой сигнал признака Даламбера: $(n+1)!=(n+1)n!$ гарантирует сокращение. Исследуем $\sum \frac{2^{n}n!}{n^n}$ — здесь и степень $2^n$, и факториал, и $n^n$: посмотрим, кто кого.

1. 1
   Соседний член: $a_{n+1}=\frac{2^{n+1}(n+1)!}{(n+1{)}^{n+1}}$.
2. 2
   Отношение рассыпается на три множителя: $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2^{n+1}}{2^n}\cdot \frac{(n+1)!}{n!}\cdot \frac{n^n}{(n+1{)}^{n+1}}=2(n+1)\cdot \frac{n^n}{(n+1{)}^{n+1}}=2{\left(\frac{n}{n+1}\right)}^n$.
3. 3
   Скобка — перевёрнутый второй замечательный предел: ${\left(\frac{n}{n+1}\right)}^n=\frac{1}{{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n}\to \frac{1}{e}$, значит $\rho =\frac{2}{e}\approx 0,736<1$.
4. 4
   Ряд сходится по признаку Даламбера. Численный контроль: при $n=1000$ отношение равно 0,7361 — почти предел.

Пример 3. Близнец с тройкой расходится#

Поменяем двойку на тройку: $\sum \frac{3^{n}n!}{n^n}$. Выкладки те же до последнего шага — и это лучшая иллюстрация того, как число e решает судьбу ряда.

1. 1
   Отношение повторяет пример 2 с заменой $2\to 3$: предел равен $\frac{3}{e}\approx 1,104>1$.
2. 2
   $\rho >1$ — ряд расходится по признаку Даламбера.
3. 3
   Заглянем глубже: с некоторого номера члены растут примерно как ${\left(\frac{3}{e}\right)}^n$ — необходимое условие нарушено, $a_n\nrightarrow 0$, частичные суммы бегут на бесконечность.
4. 4
   Мораль: в рядах вида $\sum \frac{c^{n}n!}{n^n}$ коэффициент $c$ — ставка против e. Меньше e — сходимость, больше — расход.

Типичные грабли#

• Перепутали направление дроби: признак требует $\frac{a_{n+1}}{a_n}$, а не $\frac{a_n}{a_{n+1}}$ — инверсия переворачивает и вердикт.
• Объявили $\rho =1$ расходящимся. Единица — это «нет ответа», а не приговор: врезка выше показывает оба сценария.
• Применяли Даламбера к знакочередующемуся ряду: отношение соседей может быть отрицательным, признаки для положительных рядов здесь не работают. Дорога — к признаку Лейбница.
• Забыли, что $(n+1)!=(n+1)\cdot n!$: без этого сокращения дробь не схлопывается и предел не виден.
• Подставили большое $n$ вместо предела и поверили числам у границы: при $\rho \approx 1$ численный калькулятор покажет что угодно — решает предел.

Радикальный Коши: старший брат#

Если предел отношения существует, то и предел корня $\sqrt[n]{a_n}$ равен тому же числу — а вот обратное неверно: корень сильнее, он ловит ряды, где отношение скачет без предела. Плата за силу — громоздкие корни. Когда член целиком стоит в степени $n$, корень распрямляет его в одну строчку, и радикальный признак Коши выигрывает гонку: детали — на странице радикального признака Коши, сжатая выжимка — в термине признак Даламбера.

Потренироваться выбирать признак вслепую можно в тренажёре по рядам, все формулы кластера собраны в шпаргалке по рядам, а решатель рядов проведёт исследование по шагам и покажет, какой признак он применил на каждом шаге. Знакочередующиеся ряды, где отношение соседей ни при чём, — на отдельной странице признака Лейбница.