Ряды Фурье: разложение периодической функции на синусы и косинусы

Включите музыку и посмотрите на эквалайзер плеера: звук раскладывается на столбики частот — низкие слева, высокие справа. Момент истины в том, что любой периодический сигнал можно представить суммой чистых синусоид с правильно подобранными амплитудами. Это утверждение Жан-Батист Фурье доказывал в 1807 году на задаче о теплопроводности — и физики сначала не поверили. Ряд Фурье — математический эквалайзер, и это разложение до сих пор крутится в каждом устройстве, где есть звук, картинка или связь.

Идея: периодическая функция как сумма гармоник#

Пусть $f(x)$ — периодическая функция с периодом $2\pi$ (про другие периоды — ниже). Тригонометрическим рядом Фурье называется разложение

Каждое слагаемое — гармоника: косинус или синус частоты $k$ со своей амплитудой $a_k$ или $b_k$. Задача разложения — по функции вычислить все эти амплитуды. Звучит безнадёжно: неизвестных бесконечно много. Спасает ортогональность: семейство функций $1,\cos x,\sin x,\cos 2x,\sin 2x,\dots$ устроено как перпендикулярные векторы — интеграл произведения двух разных членов семейства по периоду равен нулю. Умножь на «зонд» и проинтегрируй — все лишние слагаемые обнулятся, останется одно.

Формулы не случайно выглядят как средние. Число $\frac{a_0}{2}$ — это в точности среднее значение функции за период: постоянная составляющая сигнала, «уровень пола». Для звука это громкость постоянного гула, для температуры — среднегодовая температура, вокруг которой дрожат сезоны. Та же идея — усреднение с весами — работает в теории вероятностей: взгляните на математическое ожидание, там среднее тоже считается интегралом с весами.

Чётность: половина коэффициентов отпадает бесплатно#

Перед любым разложением смотрите на симметрию. Чётная функция ($f(-x)=f(x)$, график симметричен относительно вертикальной оси) раскладывается только по косинусам: все $b_k=0$. Нечётная ($f(-x)=-f(x)$, симметрия относительно начала координат) — только по синусам: все $a_k=0$, включая $a_0$. Причина видна в интегралах: произведение чётной на нечётную — нечётная функция, её интеграл по симметричному отрезку равен нулю.

Классический пример — $f(x)=x$ на $(-\pi ,\pi )$, продолженная с периодом $2\pi$. Функция нечётна, значит нужен только ряд синусов. Считаем $b_k$ интегрированием по частям — и получаем разложение с круглыми коэффициентами:

Проверьте первые коэффициенты вручную: $b_1=2$, $b_2=-1$, $b_3=\frac{2}{3}$. Ряд сходится к $x$ внутри интервала, а на концах $x=\pm \pi$ сумма равна нулю — середине скачка. Об этом правиле ниже.

Сумма гармоник: что видно на графике#

Классика жанра — прямоугольная волна: $f(x)=1$ на $(0,\pi )$ и $f(x)=-1$ на $(-\pi ,0)$ при периоде $2\pi$. Функция нечётна: $f(-x)=-f(x)$, значит ряд синусный, и его разложение — формула из каждого учебника: $\frac{4}{\pi }\left(\sin x+\frac{\sin 3x}{3}+\frac{\sin 5x}{5}+\dots \right)$. Если же сделать волну чётной — единицей на $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ — ряд перепишется на косинусы: $\frac{4}{\pi }\left(\cos x-\frac{\cos 3x}{3}+\frac{\cos 5x}{5}-\dots \right)$. Две версии одной идеи, и готовая ловушка на экзамене: сверяйте, где у волны граница, прежде чем списывать ряд.

Крутите ползунок числа гармоник и смотрите, как синусы складываются в ступеньку:

Ту же картину точнее показывает сравнение двух частичных сумм: с тремя слагаемыми ступенька угловатая, с пятью — уже почти вертикальные фронты. И заметьте уши: возле разрыва сумма выпирает вверх, превышая уровень волны.

Выпирание не исчезает ни при каком числе гармоник — растёт лишь его узость. Это явление Гиббса: у разрыва частичная сумма превышает уровень примерно на 9% величины скачка (точнее, на 8.95%). Аналоговые фильтры и цифровые кодеки с этим явлением живут постоянно: кольцевые артефакты вокруг резких краёв JPEG — родня Гиббсу.

Когда разложение законно и как его пишут#

Достаточные условия — условия Дирихле: на периоде функция кусочно-монотонна и имеет конечное число разрывов первого рода. Под это определение попадает всё разумное из практики — ступеньки, пилы, импульсы. Теорема Дирихле утверждает: ряд Фурье сходится к $f(x)$ в точках непрерывности и к середине скачка в точках разрыва. Именно поэтому ряд $f(x)=x$ на концах даёт ноль: скачок от $\pi$ к $-\pi$, середина $0$.

Период $T\ne 2\pi$ меняет только масштаб: частоты становятся $\frac{2\pi k}{T}$, а знаменатель в формулах коэффициентов — $\frac{T}{2}$ вместо $\pi$. Для ряда по косинусам половинного интервала $[0,\pi ]$ функцию чётно продолжают на отрицательную ось; по синусам — нечётно. Выбор продолжения — ваш инструмент: так одна и та же функция на полуинтервале даёт два разных ряда, и для решения уравнения теплопроводности обычно нужен один из них конкретно.

1. 1
   Проверить период и посмотреть на симметрию: чётность убивает синусы, нечётность — косинусы
2. 2
   Найти $a_0$ — удвоенное среднее за период; у нечётной функции он нулевой
3. 3
   Посчитать нужные $a_k$ или $b_k$ по формулам Эйлера—Фурье (при множителе $x$ — по частям)
4. 4
   Выписать ряд с найденными коэффициентами
5. 5
   Проверить точки разрыва: там сумма равна середине скачка, а не значению функции

• Ряд Фурье раскладывает периодическую функцию по гармоникам — синусам и косинусам целых частот
• Коэффициенты считаются зондированием: умножить на $\cos kx$ или $\sin kx$ и проинтегрировать по периоду
• Чётная функция — только косинусы; нечётная — только синусы; это экономит половину вычислений
• Условия Дирихле: ряд сходится к функции в точках непрерывности и к середине скачка в разрывах
• Явление Гиббса: у разрыва частичные суммы выпирают примерно на 9% скачка при любой точности

Мостик назад и вперёд. Ряд Тейлора из урока про степенные ряды приближает функцию возле одной точки многочленом; ряд Фурье описывает функцию сразу на всём периоде гармониками — глобальный портрет вместо локального. Формулы коэффициентов опираются на интеграл и тригонометрическую базу: пригодятся тригонометрические формулы и таблица интегралов, а набить руку — тренажёр интегралов. Понятие ряда в словаре напомнит, что и Фурье — лишь один из членов большого семейства бесконечных сумм.