Криволинейные интегралы: по длине дуги и по координатам

Трос канатной дороги провисает дугой между опорами, и металл вдоль него распределён неравномерно: у креплений трос толще, в середине пролёта тоньше. Школьная формула «масса равна плотность, умноженная на длину» бессильна — какой длины, если кривая? И какой плотности, если на каждом миллиметре своя? Выход один: нарезать кривую на крошечные кусочки, посчитать вклад каждого и сложить всё вместе. Такая сумма называется криволинейным интегралом; без него не обходится ни механика сплошных сред, ни электродинамика.

В этом уроке два героя — два вида интеграла. Интеграл 1-го рода собирает величины по длине дуги: массу провода, заряд стержня. Интеграл 2-го рода умножает силу на перемещение: работу поля, циркуляцию вихря. Оба сводятся к обычному определённому интегралу одной и той же операцией — параметризацией. Порядок знакомства такой: сначала кривая становится функцией параметра, потом каждый из родов получает свою формулу, пример и физику.

Как превратить кривую в счётную: параметризация#

Кривая в задаче живёт как множество точек, а интегрировать мы умеем по отрезку. Мост между ними — параметризация: правило $\vec{r}(t)=(x(t),y(t))$, по которому параметр $t$, пробегая отрезок $[a,b]$, прочерчивает кривую ровно один раз. Думайте о $t$ как о времени поездки: в момент $a$ вы на старте, в момент $b$ — на финише.

• Отрезок от $(0,0)$ до $(3,4)$: $x=3t$, $y=4t$, $t\in [0,1]$ — едем с постоянной скоростью
• Окружность радиуса $R$: $x=R\cos t$, $y=R\sin t$, $t\in [0,2\pi ]$ — обход против часовой стрелки
• Парабола $y=x^2$ от $x=0$ до $x=2$: годится $x=t$, $y=t^2$, $t\in [0,2]$ — лениво, но законно

Параметризаций у кривой бесконечно много, и это пугает новичков: вдруг ответ зависит от выбора? Не зависит. Любая гладкая параметризация с верными границами даёт для интеграла одно и то же число — меняется лишь вид подынтегрального выражения. Выбирайте ту, с которой проще считать: прямые любят линейный параметр, окружности — тригонометрию.

Сколько весит кусочек: дифференциал дуги

Вся механика интеграла 1-го рода живёт в множителе $ds$, поэтому таблицу типовых кривых полезно проговорить словами. Для прямой с постоянной скоростью модуль скорости — константа, для окружности он равен радиусу, а для графика $y=g(x)$ получается из наклона касательной: $ds=\sqrt{1+g^{\prime }(x{)}^2}dx$. Числовой пример: у параболы $y=x^2$ наклон $g^{\prime }(x)=2x$, значит $ds=\sqrt{1+4x^2}dx$ — чем дальше от вершины, тем длиннее каждый шаг по $x$. Проверьте это сами, продифференцировав пару $x=t$, $y=t^2$ — результат обязан совпасть.

Как посчитать массу кривой: интеграл 1-го рода#

Интеграл первого рода, он же интеграл по длине дуги, собирает значения $f(x,y)$ по всей кривой, взвешивая каждое длиной кусочка. Физический прототип — масса проволоки: $f$ здесь линейная плотность, а $ds$ — длина бесконечно маленького кусочка. В приложениях интеграла так же считаются площади и объёмы; здесь меняется только «линейка» — вместо отрезка оси берётся кривая.

Множитель $\sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}$ — модуль скорости точки, ползущей по кривой при росте $t$. Умноженный на $dt$, он превращает шаг параметра в шаг длины: $ds=\sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}dt$. У пространственной кривой $\vec{r}=(x,y,z)$ под корнем появляется третье слагаемое $z^{\prime }(t{)}^2$, а идея остаётся той же.

Классика семинаров — по шагам:

1. 1
   Параметризуем: $x=3t$, $y=4t$, $t\in [0,1]$. Проверка концов: при $t=0$ старт, при $t=1$ финиш $(3,4)$
2. 2
   Скорость: $x^{\prime }=3$, $y^{\prime }=4$, модуль $\sqrt{9+16}=5$, значит $ds=5dt$ — путь в пять раз длиннее параметра
3. 3
   Подставляем всё в интеграл: ${\int }_0^1(3t+4t)\cdot 5dt=35{\int }_0^{1}tdt$
4. 4
   Считаем: $35\cdot \frac{t^2}{2}{|}_0^1=\frac{35}{2}=17.5$
5. 5
   Санитарная проверка: плотность вдоль отрезка растёт от $0$ до $7$, длина равна $5$; ответ обязан попасть между $0$ и $35$. Попал

Кривая тут может быть хоть петлёй, хоть спиралью — при положительной плотности ответ положителен, и направление обхода в формуле не фигурирует. Длина кусочка не зависит от того, шли вы по нему слева направо или справа налево. Это ключевое отличие от второго рода, к которому переходим.

Как посчитать работу поля вдоль пути: интеграл 2-го рода#

Интеграл второго рода (по координатам) отвечает на вопрос: какую работу совершает силовое поле $\vec{F}=(P,Q)$, когда точку тащат по кривой $C$? Поле толкает векторно, а перемещение — крошечный вектор $d\vec{r}=(dx,dy)$ вдоль пути. Сила и перемещение скалярно перемножаются: в работу идёт только проекция силы на движение. Скалярное произведение и проекции без формул вспоминаются в шпаргалке по векторной алгебре.

После параметризации это обычный определённый интеграл — с той лишь разницей, что до интегрирования нужно честно заменить $x$, $y$, $dx$, $dy$ выражениями через $t$. Пропустить замену $dx$ — самая частая потеря баллов: в этом множителе живёт наклон пути.

Полный пример с честным счётом. Поле $\vec{F}=(x,y)$ — расталкивающее от начала координат — тащит тележку по параболе $y=x^2$ из $(0,0)$ в $(2,4)$.

1. 1
   Параметризация: $x=t$, $y=t^2$, $t\in [0,2]$. Дифференциалы: $dx=dt$, $dy=2tdt$
2. 2
   Компоненты поля на пути: $P=x=t$, $Q=y=t^2$
3. 3
   Собираем: $Pdx+Qdy=t\cdot dt+t^2\cdot 2tdt=(t+2t^3)dt$
4. 4
   Интегрируем: ${\int }_0^2(t+2t^3)dt={\left[\frac{t^2}{2}+\frac{t^4}{2}\right]}_0^2=2+8=10$
5. 5
   Ответ: $10$ (в метрах и ньютонах — $10$ джоулей). Ни одного корня: вся сложность 2-го рода спрятана в $dx$ и $dy$

Циркуляция: что замыкается по кругу

Если контур замкнут — старт совпал с финишем, — интеграл 2-го рода по нему называют циркуляцией и пишут с кружком: ${\oint }_{C}Pdx+Qdy$. Название честное: циркуляция измеряет, насколько поле «проветривает» вдоль контура, то есть тянет пробную точку по кругу. Для поля скоростей воды это оборот водоворота, для магнитного поля — работа по переносу полюса вокруг провода. Циркуляция — главный герой следующего параграфа и всей теории поля: в уроке теория поля она станет измерителем вихрей.

Почему направление пути меняет знак ответа?#

Разверните маршрут: пройдите ту же параболу от $(2,4)$ к $(0,0)$. Параметризация та же, но $t$ бежит от $2$ к $0$, и интеграл ${\int }_2^0(t+2t^3)dt$ даёт ровно $-10$. Поле прежнее, дорога прежняя, а работа сменила знак: каждый шаг теперь продвигал «в минус».

Это правило смены направления: ${\int }_{-C}Pdx+Qdy=-{\int }_{C}Pdx+Qdy$. У интеграла 1-го рода аналогичного правила нет — $ds$ положителен всегда. Убедимся на вращательном поле $\vec{F}=(-y,x)$, закрученном против часовой стрелки. По четверти единичной окружности от $(1,0)$ до $(0,1)$: $x=\cos t$, $y=\sin t$, $dx=-\sin tdt$, $dy=\cos tdt$, и подынтегральное выражение $-ydx+xdy={\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1$. Интеграл равен $\pi /2\approx 1.57$. Обратный путь даёт $-\pi /2$. А вот ${\int }_C(x^2+y^2)ds$ по полной единичной окружности равен ${\int }_0^{2\pi }1\cdot 1dt=2\pi$ — в каком бы направлении её ни обходить.

Ещё одна быстрая проверка — на нашем параболическом поле $(x,y)$. По прямой из $(0,0)$ в $(3,4)$ работа равна $\int xdx+ydy=\frac{x^2+y^2}{2}{|}_0^{(3,4)}=\frac{25}{2}=12.5$ — полный квадрат расстояния, пополам. Обратный путь обязан дать $-12.5$: правило смены направления согласуется с первообразной. Кстати, именно потому, что у поля $(x,y)$ есть потенциал $U=-(x^2+y^2)/2$, работа по замкнутому контуру для него всегда ноль — потрогайте это на любом контуре.

Как связаны 1-й и 2-й род?#

Рода не чужие братья: это одно измерение в разных системах отсчёта. Пусть $\alpha$ — угол между касательной к пути и осью $x$, $\beta$ — той же касательной с осью $y$. Тогда $dx=\cos \alpha ds$ и $dy=\cos \beta ds$, и связь получается подстановкой:

Проверим на постоянном поле $\vec{F}=(2,5)$ и отрезке до $(3,4)$. Слева — интеграл 2-го рода: ${\int }_{C}2dx+5dy=2\cdot 3+5\cdot 4=26$, для постоянной силы работа есть произведение силы на полное перемещение. Справа — через 1-й род: направляющие косинусы вектора $(3;4)$ равны $3/5$ и $4/5$, под интегралом стоит константа $\frac{2\cdot 3+5\cdot 4}{5}=\frac{26}{5}$, а длина дуги равна $5$ — снова $26$. Сошлось до последней десятой; такой перекрёстный счёт — хороший самоконтроль на экзамене.

Выражение $P\cos \alpha +Q\cos \beta$ стоит прочитать ещё раз, по-векторному: это проекция силы на единичный касательный вектор пути. Для 1-го рода кривая важна только своей геометрией — направление обхода не входит, для 2-го рода касательная ориентирована, и именно ориентация решает знак. Связь между родами — это перевод между «идти по длине» и «идти по касательной»: та же идея, что у производной по направлению, только вместо направления роста — направление движения.

Что дальше по маршруту? Замкнём контур — и над ним всплывёт двойной интеграл: это формула Грина, мост к теории поля, где работа, поток и вихрь собираются в одну картину — теория поля продолжает ровно с этого места. Термин вектор и его произведения разобраны в словаре, там же — статья криволинейный интеграл, а техника интегрирования тренируется в разборе решений и тренажёре интегралов: после параметризации тамошние задачи вы щёлкаете как орешки.

• Порядок работы всегда один: параметризовать, пересчитать $ds$ или $dx,dy$, подставить, свести к обычному интегралу
• 1-й род слеп к направлению, 2-й чуток: обратный обход даёт минус
• $ds$ на окружности радиуса $R$ — это $Rd\theta$; на прямой — модуль вектора скорости на $dt$
• Плотность $x^2+y^2$ на окружности $x^2+y^2=R^2$ — константа $R^2$: выносится за интеграл
• Оценка интеграла 1-го рода лежит между $\min f\cdot L$ и $\max f\cdot L$ — дёшево ловит грубые ошибки