Двойные интегралы: объём над областью и повторное интегрирование

Одномерный интеграл складывал площади узких полосок под кривой. Двойной интеграл делает то же самое, только полоски становятся столбиками: над каждой крошечной площадкой области на плоскости стоит столбик высотой $f(x,y)$, и интеграл суммирует их объёмы. Та же логика Римана, на одно измерение выше — и потому сразу два практических применения: объёмы тел и массы пластин с переменной плотностью.

Что такое двойной интеграл#

Пусть на ограниченной области $D$ плоскости задана функция $z=f(x,y)$. Разрежем $D$ на мелкие кусочки площадью $\Delta S_k$, над каждым возьмём пробную точку и высоту $f$ в ней, сложим произведения — получится интегральная сумма. Если её предел при измельчении разбиения существует, он и называется двойным интегралом от $f$ по области $D$.

Каждый символ на своём месте: $D$ — «ковёр» на плоскости, по которому идёт суммирование; $f(x,y)$ — высота над точкой; $dS$ — крошечный кусочек площади. Если $f\ge 0$, интеграл равен объёму цилиндрического тела между областью и поверхностью $z=f(x,y)$. Если $f$ — поверхностная плотность пластины $D$, интеграл даёт её массу. Геометрический смысл переезжает из первого семестра без изменений: интеграл как сумма бесконечно малых вкладов.

Прежде чем бросаться в двумерные конструкции, стоит вспомнить, из чего складывается обычный интеграл: сумма прямоугольников, стягивающаяся к точному значению. Потрогайте это руками — ползунок $n$ добавляет полоски.

Теорема Фубини: два интеграла вместо одного#

Считать предел интегральных сумм вручную никому не хочется. Спасает теорема Фубини: для хорошей функции и простой области двойной интеграл сводится к повторному — сначала интегрируем по одной переменной, затем по другой. Для прямоугольника $D=[a,b]\times [c,d]$:

Механика простая: внутренний интеграл «съедает» $y$ и оставляет функцию одного $x$, внешний съедает $x$. Прорешаем целиком: ${\iint }_D(x+y)dS$ по прямоугольнику $D=[0,1]\times [0,2]$.

Отдельный подарок — произведение-разделение: если $f(x,y)=g(x)\cdot h(y)$, а область — прямоугольник, то двойной интеграл разваливается на произведение двух обычных: $\iint g(x)h(y)dS=\left({\int }_a^{b}gdx\right)\left({\int }_c^{d}hdy\right)$. Например, ${\iint }_{[0,1{]}^2}{x}^{2}ydS=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{6}$. Проверяйте эту возможность первой — она экономит половину выкладок.

Области общего вида: бегущие пределы#

Реальные области редко бывают прямоугольниками. Типовая ситуация — криволинейная трапеция: снизу и сверху её зажимают кривые $y={\phi }_1(x)$ и $y={\phi }_2(x)$, по бокам — прямые $x=a$ и $x=b$. Тогда

Классическая область для экзамена — между параболой и прямой. Возьмём $D$: от $y=x^2$ до $y=x$ при $x$ от 0 до 1. Кривые пересекаются в точках $(0,0)$ и $(1,1)$; внутри полосы парабола лежит ниже прямой. Посчитаем ${\iint }_{D}xydS$.

Считаем. Внутренний интеграл: ${\int }_{x^2}^{x}xydy=x\cdot \frac{y^2}{2}{|}_{y=x^2}^{y=x}=x\cdot \frac{x^2-x^4}{2}=\frac{x^3-x^5}{2}$. Внешний: ${\int }_0^1\frac{x^3-x^5}{2}dx=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{6}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{12}=\frac{1}{24}\approx 0.042$.

Тот же объём можно вычислить сменой порядка: разрезаем область горизонтально, при фиксированном $y$ координата $x$ пробегает от кривой $x=y$ до параболы $x=\sqrt{y}$, и получается ${\int }_0^{1}dy{\int }_y^{\sqrt{y}}xydx$ — ответ обязан совпасть. Именно в умении переключать порядок и лежит главная ловушка темы: один порядок иногда сводит интеграл к двум строчкам, другой — к нерешаемым первообразным.

Полярные координаты: когда область круглая

Круги, кольца и секторы в декартовых координатах мучительны: пределы с корнями, пределы с $\pm \sqrt{...}$. Полярные координаты лечат это радикально: точка описывается расстоянием $r$ от начала координат и углом $\phi$. Вместе с заменой $x=r\cos \phi$, $y=r\sin \phi$ элемент площади обрастает множителем — якобианом:

Откуда $r$? Кусочек площади в полярах — это $dr$ вдоль луча и $rd\phi$ поперёк: чем дальше от центра, тем длиннее дуга на тот же угол. Показательная задача: $\iint e^{x^2+y^2}$ по кругу радиуса 1. В декартовых первообразная от $e^{x^2}$ не выражается — тупик. В полярных: ${\int }_0^{2\pi }d\phi {\int }_0^1{e}^{r^2}rdr=2\pi \cdot \frac{e-1}{2}=\pi (e-1)\approx 5.40$. Множитель $r$ превращает $e^{r^2}rdr$ в берущийся интеграл: под $e^{r^2}$ стоит его собственная производная $2r$.

У двойного интеграла те же свойства, что у одномерного: константа выносится за знак интеграла, интеграл суммы равен сумме интегралов, а область можно резать на части и суммировать по кускам. Аддитивность выручает, когда граница меняет формулу посередине: разрезаем область вертикальной прямой, считаем каждый кусок по своим пределам, складываем ответы.

1. 1
   Нарисовать область и найти точки пересечения граничных кривых — они дадут внешние пределы
2. 2
   Выбрать порядок: вертикальные разрезы (внутри по $y$) или горизонтальные (внутри по $x$) — где проще граница
3. 3
   Выписать пределы: внешние — числа, внутренние — функции внешней переменной
4. 4
   Взять внутренний интеграл при замороженной внешней переменной
5. 5
   Взять внешний интеграл и записать ответ; при желании проверить сменой порядка

Где это применяется#

Масса неоднородной пластины: если $\rho (x,y)$ — плотность, то $M={\iint }_D\rho dS$. Для пластины $[0,1]\times [0,1]$ с плотностью $\rho =xy$: $M=\left({\int }_0^{1}xdx\right)\left({\int }_0^{1}ydy\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$. По той же схеме считаются координаты центра масс, моменты инерции, заряд пластины, расход жидкости через трубу. В физике электростатики интегрирование по области — главный инструмент: взгляните на напряжённость и потенциал, там непрерывные заряды складываются именно так.

• Двойной интеграл = предел сумм «высота × кусочек площади»; при $f\ge 0$ это объём тела
• Фубини: двойной интеграл = повторный; внутренние пределы могут зависеть от внешней переменной
• Если $f=g(x)h(y)$ и область — прямоугольник, интеграл распадается в произведение
• Полярные координаты для круглых областей: $dS=rdrd\phi$, множитель $r$ обязателен
• Приложения: масса, центр масс, моменты, заряд — всё через $\iint$ по области

Техника интегрирования здесь та же, что в первом семестре, — замена, по частям, таблица. Если таблица подзабылась, откройте шпаргалку по интегралам; отрабатывать одномерную базу удобнее всего в тренажёре интегралов. Дальше по разделу суммы становятся бесконечными: урок числовые ряды покажет, что бывает, если складывать слагаемые без конца.