Приложения двойных интегралов: масса, центр тяжести, моменты инерции

Лист жести прогревается неравномерно, покрывается плёнкой переменной толщины, вырезается по кривому контуру. Сколько он весит? Где точка, на которую его можно положить и он не качнётся? Сколько усилия стоит раскрутить его вокруг оси? Все три вопроса решаются одним аппаратом — двойным интегралом, изученным в прошлом уроке. Здесь этот аппарат заработает на физических задачах: каждая формула ниже выводится из одного и того же приёма «разрезать, взвесить, просуммировать».

Масса пластинки с переменной плотностью#

Пусть пластинка занимает область $D$ на плоскости, а поверхностная плотность в точке $(x,y)$ равна $\rho (x,y)$ — скажем, в граммах на квадратный сантиметр. Разрежем область на крошечные кусочки площадью $\Delta S_k$; масса каждого приближённо равна $\rho (x_k,y_k)\Delta S_k$. Сумма таких вкладов при измельчении нарезки и есть масса пластинки:

Формула честно работает и с неравномерностью, и с кривым контуром. Считается она сведением к повторному интегралу — техника разобрана в уроке про двойные интегралы. Протопчем её на конкретной пластине: квадрат $[0,1]\times [0,1]$ с плотностью $\rho =x^2+y^2$ (у угла $(1,1)$ тяжелеет, у нуля почти прозрачен):

Сумма столбиков ниже — та же масса вживую: высота каждого столбика равна плотности в его ячейке, и ползунок $n$ уплотняет нарезку. Точное значение $\frac{2}{3}\approx 0.667$ — суммы к нему подбираются.

Статические моменты и центр тяжести#

Момент силы тяжести кусочка относительно оси — вес на плечо. Для крошечного кусочка массы $\rho dS$ плечо до оси $Ox$ равно $y$, до оси $Oy$ — $x$. Просуммируем по всей области — получим статические моменты:

Центр тяжести — точка, в которой вся масса могла бы сидеть, не изменив моментов. Приравниваем момент сосредоточенной массы к сумме моментов и делим:

Две бесплатные проверки формулы. Первая — симметрия: однородный диск имеет центр в своей середине, и интеграл это подтверждает. Вторая — координаты центра не обязаны попадать внутрь области: у однородного кольца центр лежит в дырке посередине, и это правильный ответ, а не ошибка вычисления.

Обратите внимание на порядок: центр тяжести ближе к той части области, где плотность больше, но не прилипает к ней — усреднение сглаживает. Для однородной пластины ($\rho =const$) плотность сокращается, и остаются чисто геометрические интегралы — так из физической задачи вырастает центроид фигуры, знакомый по приложениям определённого интеграла.

Моменты инерции#

Чтобы раскрутить тело, нужен момент инерции — мера сопротивления вращению, механический аналог массы. Точка массы $m$ на расстоянии $d$ от оси даёт вклад $m{d}^2$; для пластинки каждая крошечная порция $\rho dS$ сидит на своём расстоянии, и интеграл всё складывает:

Равенство $I_0=I_x+I_y$ — теорема Пифагора, встроенная в интеграл: $x^2+y^2$ — квадрат расстояния до начала координат. Физический смысл величины разобран в статье про момент инерции, а инженерная жизнь этих чисел — в расчётах на изгиб и раскрутку, от маховиков до лопастей. Досчитаем наш квадрат: $I_0=\iint (x^2+y^2{)}^{2}dS=\iint (x^4+2x^2{y}^2+y^4)dS=\frac{1}{5}+\frac{2}{9}+\frac{1}{5}=\frac{28}{45}\approx 0.62$. Число меньше массы? Да: массы в нём умножены на квадраты расстояний, каждое из которых меньше единицы.

Полярные координаты: круги становятся простыми#

Как только область — диск, кольцо или сектор, декартовы пределы обрастают корнями. Переход в полярные координаты делает область прямоугольной по $(r,\phi )$, а элемент площади получает множитель $r$:

Забытый множитель $r$ — ошибка номер один во всей теме, держите его на особом контроле. Разберём массу диска радиуса $R=2$ с плотностью, растущей от центра: $\rho =kr$, где $k$ — константа. В полярных координатах диск — прямоугольник $0\le r\le 2$, $0\le \phi \le 2\pi$:

Заодно посчитался момент инерции этого диска относительно центра: $I_0={\int }_0^{2\pi }d\phi {\int }_0^2(kr)r^2\cdot rdr=2\pi k\cdot \frac{2^5}{5}=\frac{64\pi k}{5}$. Плотность и плечо дружат в полярной записи: обе — степени $r$, и интеграл превращается в табличный. Подробности смены координат и работа с пределами — в уроке о двойных интегралах, физический объём тех же приёмов для трёх измерений — в тройных интегралах.

Типовые ошибки#

1. В полярных координатах потерян якобиан $r$: ответ занижен, и часто несовместим даже с грубой вилкой по плотности
2. $M_x$ перепутан с $M_y$: момент относительно оси $Ox$ несёт плечо $y$, а не $x$; индекс — про ось, буква в интеграле — про плечо
3. Деление выполнено до интегрирования: $\frac{\iint xdS}{\iint dS}$ — это формула центра тяжести, а не $\iint \frac{x}{M}dS$, порядок действий фиксирован
4. Ответ «центр не попал в область» зачёркнут как ошибка: у кольца и бумеранга центр тяжести лежит снаружи — и это верно
5. Плотность разрывна (пластина из двух материалов): область режется на куски, интегралы складываются — один интеграл на всё здесь незаконен

1. 1
   Отработать технику повторных интегралов и полярную замену: двойные интегралы
2. 2
   Поднять те же приложения в объём тела: тройные интегралы
3. 3
   Плоский старт темы — площади и пути: приложения определённого интеграла
4. 4
   Формулы первообразных для повторных интегралов: шпаргалка по таблице интегралов и тренажёр интегралов

Все приложения темы — одна формула, прочитанная с разными подынтегральными выражениями: плотность даёт массу, плотность на плечо — статический момент, плотность на квадрат плеча — момент инерции. Дальше по курсу суммирование переходит с плоских областей на кривые линии и поверхности: криволинейные интегралы считают массу провода и работу поля, а техника вычислений останется той же. Словарные статьи двойной интеграл и момент инерции собирают формулировки в одном месте.