Двойной интеграл

Двойной интеграл ${\iint }_{D}f(x,y)dS$ — обобщение определённого интеграла на функции двух переменных по области $D$ на плоскости. Строится точно как одномерный собрат: область нарезается на кусочки площадью $\Delta S_i$, в каждом выбирается пробная точка $P_i$, составляется сумма $\sum f(P_i)\Delta S_i$, и предел этих сумм при измельчении разбиения называется двойным интегралом. Геометрический смысл при $f\ge 0$: объём тела под поверхностью $z=f(x,y)$ над областью $D$. Полезное следствие: ${\iint }_{D}1\cdot dS$ равно площади $D$ — так интеграл считает и площади.

Интуиция: двойной интеграл — суммарный объём воздуха между плоской областью и крышей-поверхностью над ней. Интегральные суммы — попытка посчитать объём лестницей из тонких столбиков: мельче нарезка, точнее счёт. Свойства переносятся с одномерного случая без сюрпризов: линейность ($\iint (\alpha f+\beta g)=\alpha \iint f+\beta \iint g$), аддитивность по области (разрезали $D$ на две части — интеграл распался на сумму), монотонность (больше функция — больше интеграл) и оценка через минимум и максимум: $m\cdot S\le {\iint }_{D}fdS\le M\cdot S$, где $S$ — площадь области.

Мини-пример: ${\iint }_{[0;1{]}^2}(x+y)dS$. По Фубини берём внутренний интеграл по $x$: ${\int }_0^1(x+y)dx={\left[\frac{x^2}{2}+xy\right]}_0^1=\frac{1}{2}+y$. Внешний: ${\int }_0^1\left(\frac{1}{2}+y\right)dy=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$. Объём под плоскостью $z=x+y$ над единичным квадратом равен $1$. Контроль по смыслу: среднее значение $x+y$ на квадрате — сумма средних $1/2+1/2=1$, площадь единица, объём $1\cdot 1=1$ — сошлось. Приём «среднее значение умножить на площадь» — быстрая проверка любого такого примера.

Разобранные области и замены координат — урок двойные интегралы, одномерная база — урок определённый интеграл, окрестность темы — урок функции нескольких переменных. Словарь: интеграл — общий предок, функция нескольких переменных и частная производная — язык, на котором область и функция описываются. Техника интегрирования — в шпаргалке.