Частная производная

Частная производная — обычная производная, только у функции несколько входов, и дифференцируете вы по одному из них, заморозив остальные. Представьте рельеф: высота $h(x,y)$ зависит от координат. Шагаете строго на восток — крутизна подъёма это $\frac{\partial h}{\partial x}$; строго на север — $\frac{\partial h}{\partial y}$. Две разные производные одной поверхности, и обе считаются правилами из статьи производная — никаких новых формул, только новая дисциплина внимания.

Механика счёта — «заморозка и штамп». Пример: $f(x,y)=x^3+x{y}^2$. Дифференцируем по $x$: $x^3$ даёт $3x^2$, а в произведении $x{y}^2$ множитель $y^2$ ведёт себя как константа — выходит $y^2$. Итого $\frac{\partial f}{\partial x}=3x^2+y^2$. Теперь по $y$: $x^3$ — константа, её производная ноль, а $x{y}^2$ даёт $2xy$. Итого $\frac{\partial f}{\partial y}=2xy$. В точке $(1;2)$ получаем $3+4=7$ и $2\cdot 1\cdot 2=4$.

Обе производные в точке собираются в вектор — градиент, указатель наискорейшего роста функции. В примере выше градиент равен $(7;4)$: чтобы забраться на рельеф быстрее всего, идите в этом направлении, а не по осям. Градиент, производная по направлению, касательная плоскость и полный дифференциал — вся связка разобрана в уроке про частные производные и градиент; стартовая площадка — статья функция нескольких переменных.

Вторые производные заводят иерархию: $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}$ — продифференцировали по $y$, затем по $x$. Теорема Шварца гарантирует: если смешанные производные непрерывны, порядок неважен — $f_{xy}=f_{yx}$. Проверка: для $f=x^2{y}^3$ обе смешанные равны $6x{y}^2$. Отсюда вырастают уравнения математической физики — в волновом уравнении частные производные и есть весь закон движения.