Функция нескольких переменных

Функция нескольких переменных — правило, которое точке с несколькими координатами ставит в соответствие одно число. Записывается $z=f(x,y)$ для двух входов, $u=f(x,y,z)$ для трёх. Температура в комнате — функция трёх координат: сдвинулись по комнате — температура поменялась. Высота горного рельефа над точкой карты — функция двух: $h(x,y)=x^2+y^2$ описывает конус-воронку, поднимающийся от начала координат.

Область определения — множество точек, где правило работает. Для $z=\sqrt{1-x^2-y^2}$ это круг радиуса единица: вне его под корнем отрицательное число. График функции двух переменных — поверхность в трёхмерном пространстве; для трёх и более входов картинку уже не построить, и на помощь приходят линии уровня.

Линия уровня — кривая, вдоль которой функция принимает одно и то же значение $C$. Топографическая карта сделана именно так: соединили точки одинаковой высоты — получили горизонталь. Метеокарты (изобары), экономика (кривые безразличия), термо-снимки — всюду линии уровня. Чем гуще они идут, тем круче поверхность в этом месте.

Дифференцируют такую функцию по каждой переменной отдельно: частная производная $\frac{\partial z}{\partial x}$ — обычная производная по $x$ при замороженном $y$. Направление наискорейшего роста собирает градиент, а сама техника взятия производных та же, что у производной одной переменной — только держите в голове, какая буква «заморожена».

Значения считаются прямой подстановкой. Пусть $f(x,y)=x^2+3y$: в точке $(2;-1)$ это $4-3=1$, в $(0;3)$ — девятка, в $(-2;0)$ — четвёрка. Обратите внимание: $f(2;y)$ и $f(-2;y)$ дают одинаковые значения при любом $y$ — функция чётна по $x$, и на карте уровней это видно зеркальной симметрией относительно вертикальной оси. Такая «проверка симметрией» — быстрый способ поймать арифметическую ошибку: значения по разные стороны оси обязаны совпадать.

Пара задач для разминки. Первая: сколькими переменными описывать поездку? Время в пути зависит от маршрута, скорости и времени суток — то есть от многих входов сразу, и оптимизировать такую функцию — отдельная наука. Вторая: упростить запись помогает срез. Фиксируем $y$ и смотрим на сечение — получается обычная функция одной переменной, которую вы уже умеете дифференцировать. Так и устроен весь курс: сложное многомерное пространство разрезается на понятные одномерные срезы, а потом срезы склеиваются обратно.