📈 Матанализ

Экстремум функции двух переменных

Q: Чем седловая точка отличается от перегиба?

Перегиб — свойство графика функции одной переменной, там меняется направление выпуклости; седловая точка — объект поверхности двух переменных, где вдоль одних направлений она выглядит минимумом, вдоль других — максимумом. Общее у них то, что производные первого порядка обнуляются, а экстремума нет. Перегиб с его таблицей знаков второй производной разобран в терминах [точка перегиба](/terminy/tochka-peregiba/).

англ. Local extremum of a function of two variables

Локальный максимум или минимум z = f(x, y): вершина или дно рельефа. Кандидаты — стационарные точки, где обе частные производные равны нулю; проверяет их критерий с D = AC − B².

Экстремум функции двух переменных — локальный максимум или минимум $z = f (x, y)$ : точка, во всех достаточно близких окрестностях которой значения функции не превосходят (или не меньше) значения в самой точке. Необходимое условие переносится с одной переменной: в точке экстремума обе частные производные равны нулю, $f_{x}^{'} = f_{y}^{'} = 0$ — стационарная точка. Но в рельефе появился новый персонаж: седловая точка у $x^{2} - y^{2}$ в нуле — производные нулевые, а экстремума нет: вдоль оси $x$ чаша, вдоль оси $y$ купол. База — урок функции нескольких переменных, словарь — в терминах экстремум.

Достаточное условие опрашивает вторые производные в стационарной точке: пусть $A = f_{xx}^{''}$ , $B = f_{x y}^{''}$ , $C = f_{y y}^{''}$ , $D = A C - B^{2}$ . При $D > 0$ экстремум есть, и тип виден по $A$ : $A > 0$ — минимум, $A < 0$ — максимум. При $D < 0$ — седло. При $D = 0$ критерий молчит, вопрос решается определением. Пример: $f = x^{2} + y^{2} - x y$ ; система $2 x - y = 0$ , $2 y - x = 0$ даёт точку $(0; 0)$ ; там $A = 2$ , $B = - 1$ , $C = 2$ , $D = 4 - 1 = 3 > 0$ и $A > 0$ — минимум со значением $0$ .

Рабочий алгоритм: решить систему $f_{x}^{'} = 0$ , $f_{y}^{'} = 0$ ; для каждого кандидата посчитать $A$ , $B$ , $C$ , $D$ ; сделать вывод; проверить границу области отдельно — экстремум может жить и там. Разбор сценариев — в разделе как решать экстремумы. Типичная ошибка — остановиться после решения системы: без проверки $D$ седловая точка тихо выдаёт себя за экстремум. Для задач с ограничением-связью нужна отдельная техника — условный экстремум и множители Лагранжа; обзорная связка с линейной алгеброй — в сравнении матанализ против линейной алгебры.

D = f_{xx}^{''} f_{y y}^{''} - (f_{x y}^{''})^{2}, D > 0, A > 0 \Rightarrow min; D > 0, A < 0 \Rightarrow max; D < 0 \Rightarrow седло

достаточное условие экстремума через вторые производные в стационарной точке

Частые вопросы

Почему равенство нулю частных производных не гарантирует экстремум?

Рельеф может изгибаться в разные стороны по разным осям: у $f = x^{2} - y^{2}$ обе производные обнуляются в нуле, но вдоль оси $x$ точка сидит на дне чаши, а вдоль оси $y$ — на гребне. Такая точка называется седловой. Достаточное условие с $D = A C - B^{2}$ существует ровно для отсева ложных кандидатов: при $D < 0$ это седло. Подробно — в уроке функции нескольких переменных.

Чем седловая точка отличается от перегиба?

Перегиб — свойство графика функции одной переменной, там меняется направление выпуклости; седловая точка — объект поверхности двух переменных, где вдоль одних направлений она выглядит минимумом, вдоль других — максимумом. Общее у них то, что производные первого порядка обнуляются, а экстремума нет. Перегиб с его таблицей знаков второй производной разобран в терминах точка перегиба.

пошагово

Решатель производных

Дифференцировать для критерия AC − B²

Критерий строится на вторых частных производных: решатель вычислит каждую из них по шагам.

Открыть решатель