Экстремум

Экстремум — точка, где функция разворачивается. В точке локального максимума $x_0$ все соседние значения не больше $f(x_0)$, в минимуме — не меньше. Слово «локальный» существенно: максимум на вершине холма не обязан быть самой высокой точкой страны — сравнение идёт только с ближайшей окрестностью.

Необходимое условие (Ферма): во внутренней точке экстремума производная либо равна нулю, либо не существует. Точки, где $f^{\prime }(x_0)=0$, называют стационарными — касательная там горизонтальна. Ноль производной — пропускной пункт, а не гарантия: дальше нужна проверка.

Достаточное условие: знак производной меняется. Разберём $f(x)=x^3-3x$: $f^{\prime }(x)=3x^2-3$, нули $x=\pm 1$. Слева от $-1$ производная плюс, между $-1$ и $1$ минус, справа плюс. В точке $-1$ знак сменился с плюса на минус — максимум, $f(-1)=2$; в точке $1$ — с минуса на плюс, минимум, $f(1)=-2$.

Вторая производная ускоряет проверку: $f^{\prime \prime }(x_0)>0$ — чаша, минимум; $f^{\prime \prime }(x_0)<0$ — купол, максимум. Но при $f^{\prime \prime }(x_0)=0$ возвращайтесь к знаку первой: у $x^3$ в нуле и $f^{\prime }$, и $f^{\prime \prime }$ нулевые, а экстремума нет — функция растёт насквозь. Полный протокол исследования разобран в уроке про исследование функции; сама производная — в словаре.

Протестируем оба условия на живой функции $f(x)=x+\frac{4}{x}$: производная $f^{\prime }(x)=1-\frac{4}{x^2}$ обнуляется при $x=2$; слева от двойки она минус, справа плюс — минимум, $f(2)=4$. Сверим второй производной: $f^{\prime \prime }(x)=\frac{8}{x^3}>0$ — чаша, всё сходится. А в точке $x=-2$ знак меняется наоборот — максимум $f(-2)=-4$: ветви по разные стороны оси ведут себя зеркально. Двойная проверка двумя условиями занимает полминуты и снимает главный страх контрольной — выбрать не ту точку.

Оформление на контрольной — тоже техника. План: область определения; вычислить $f^{\prime }$; найти стационарные и критические точки; расставить знаки производной на числовой прямой; записать вывод словами («в точке $x_0$ — локальный максимум») и посчитать само значение. Схема знаков — самый наглядный документ: экзаменатор читает её за секунды, а вы мгновенно находите собственную ошибку, если она закралась. Обратный шаг — подставить точки слева и справа от найденной: значения обязаны лечь по разные стороны от экстремального.