📈 Матанализ

Функция

англ. Function

Правило, которое каждому числу из области определения ставит в соответствие ровно одно число: машина «вход — выход».

Функция — это правило, которое каждому допустимому входу ставит в соответствие ровно один выход. Кидаете в автомат монету — получаете ровно одну бутылку, а не «что-нибудь по настроению». Пишут $y = f (x)$ : $x$ — аргумент, $f$ — правило, $y$ — значение. Множество допустимых входов называют областью определения $D (f)$ , множество возможных выходов — множеством значений. Автомат с тремя кнопками и тремя напитками — тоже функция; таблица «поезд — время отправления» — тоже.

f : X \to Y, x \mapsto f (x)

Простейшие примеры стоит держать под рукой: $f (x) = x^{2}$ — квадрат (вход $- 3$ даёт $9$ , вход $3$ тоже $9$ — и это законно); $f (x) = x$ определена только при $x \geq 0$ — область определения отсекает отрицательные числа; $f (x) = 1/ x$ не определена в нуле. Заметьте: «один вход — один выход» не запрещает разным входам давать одинаковый выход. Запрещено обратное: одному входу — два выхода. График $x^{2} + y^{2} = 1$ функцией не является: вертикальная прямая $x = 0$ встречает его в двух точках.

Весь первый курс матанализа — это изучение функций: как они ведут себя на бесконечности (предел функции), как быстро меняются (производная), какие площади накапливают (интеграл). Потренируйтесь отличать правила от графиков на живых задачах: тренажёр производных заставит вращать в голове и правила, и графики одновременно.

Полезно отделять функцию от её графика: график — чертёж, функция — само правило. Одно правило может выглядеть по-разному: $f (x) = ∣ x ∣$ — «галочка», $f (t) = t^{2}$ — парабола, но суть соответствия «вход — выход» не меняется. Способы задания тоже разнообразны: формула, таблица значений, словесное описание («округлите до целого»), график.

Самый частый практический вопрос — область определения. У $f (x) = \frac{x + 2}{x - 3}$ она собирается из двух требований: подкоренное выражение неотрицательно ( $x \geq - 2$ ) и знаменатель не ноль ( $x \neq = 3$ ). Выписывайте условия по очереди и пересекайте их — получится промежуток $[- 2; 3)$ плюс $(3; + \infty)$ . Такой пошаговый сбор требований спасает и в задачах с логарифмами, и с дробями: каждая запретная зона выписывается отдельно.

Частые вопросы

Чем функция отличается от уравнения?

Уравнение — это вопрос «при каких $x$ верно равенство?», ответ — набор корней. Функция — это правило «каждому $x$ дай значение», ответ — целая зависимость. Уравнение $x^{2} = 4$ имеет два решения, функция $f (x) = x^{2}$ — бесконечную таблицу пар «вход — выход».

Может ли у функции быть два значения в одной точке?

Нет — это противоречит определению. Если зависимость допускает два значения (как высота точки окружности при фиксированном $x$ ), это не функция, а более общий объект — кривая или отображение «многозначное».