📈 Матанализ

Условный экстремум

Q: Что означает множитель λ в методе Лагранжа?

$\lambda$ — цена ограничения: на сколько изменится оптимальное значение при сдвиге правой части связи на единицу. В задаче о максимуме $xy$ при $x + y = c$ множитель по модулю равен $\frac{c}{2}$: рост бюджета $c$ на единицу поднимает максимум примерно на столько. Экономисты называют это теневой ценой ресурса. Однофамилец из механики — [функция Лагранжа](/terminy/funkciya-lagranzha/) — живёт в другой задаче, но наследует ту же идею.

англ. Constrained extremum

Экстремум функции при дополнительной связи g(x, y) = 0: ищем вершину не на всём рельефе, а вдоль заданной кривой. Решается подстановкой из связи или методом множителей Лагранжа.

Условный экстремум — наибольшее или наименьшее значение функции при дополнительном ограничении-связи $g (x, y) = 0$ : ищем вершину не на всём рельефе, а вдоль заданной кривой. Классические постановки: максимум площади при фиксированном периметре, максимум прибыли при бюджете, ближайшая к началу координат точка прямой. Сравните с обычным экстремумом: там поиск идёт по всей области, здесь — только на срезе, вырезанном связью. Постановка и базовые примеры — в уроке функции нескольких переменных.

Простейший путь — разрешить связь относительно одной переменной. Задача: минимум $f = x^{2} + y^{2}$ при $x + y = 1$ . Подстановка $y = 1 - x$ даёт $f = x^{2} + (1 - x)^{2} = 2 x^{2} - 2 x + 1$ ; производная $4 x - 2$ обнуляется в $x = \frac{1}{2}$ , минимум $f = \frac{1}{2}$ . Геометрия подтверждает: точка $(\frac{1}{2}; \frac{1}{2})$ — ближайшая к началу координат точка прямой $x + y = 1$ , расстояние $\frac{1}{2} \approx 0, 71$ . Приём отличен, пока связь легко разрешается; криволинейные связи и три переменные уже захлёбывают — дальше работает метод множителей Лагранжа.

Геометрическая суть метода Лагранжа: в точке условного экстремума градиент целевой функции коллинеарен градиенту связи — иначе вдоль кривой $g = 0$ оставалось бы направление роста. Условие $\nabla f ∥ \nabla g$ плюс сама связь образуют систему уравнений на точку и множитель $λ$ . Тип экстремума (минимум или максимум) проверяется сравнением значений в соседних точках кривой либо знаком второй производной вдоль кривой. Родственные сюжеты — в терминах функция нескольких переменных и градиент, задачи с параметрами — в разделе экстремумы.

L (x, y, λ) = f (x, y) + λ g (x, y), \nabla f = - λ \nabla g, g = 0

функция Лагранжа и условие коллинеарности градиентов — сердце метода условного экстремума

Частые вопросы

Чем условный экстремум отличается от обычного?

Областью поиска: обычный экстремум ищется по всей области определения, условный — лишь на множестве, вырезанном связью $g = 0$ . Безусловный минимум $x^{2} + y^{2}$ равен нулю в начале координат, условный на прямой $x + y = 1$ равен $\frac{1}{2}$ — стартовая точка недостижима из-за ограничения. Сужение области может лишь поднять минимум и опустить максимум, никогда наоборот.

Что означает множитель λ в методе Лагранжа?

$λ$ — цена ограничения: на сколько изменится оптимальное значение при сдвиге правой части связи на единицу. В задаче о максимуме $x y$ при $x + y = c$ множитель по модулю равен $\frac{c}{2}$ : рост бюджета $c$ на единицу поднимает максимум примерно на столько. Экономисты называют это теневой ценой ресурса. Однофамилец из механики — функция Лагранжа — живёт в другой задаче, но наследует ту же идею.