📈 Матанализ

Как найти экстремумы функции

Q: Чем точка экстремума отличается от экстремума?

Точка экстремума — значение $x_0$, при котором достигается максимум или минимум; экстремум — само значение $y_0 = f(x_0)$. Формулировки «найдите точки экстремума» и «найдите экстремумы функции» требуют разного: в первом случае иксы, во втором — пары или значения.

Q: Что делать с точками, где производная не существует?

Включить их в список критических наравне с корнями $y' = 0$ и проверить знаки производной слева и справа. Классика: $y = |x|$ — производной в нуле нет, слева минус, справа плюс — минимум. Экстремум — про поведение функции, а не про гладкость.

Q: Когда достаточно второй производной?

Когда $y''$ считается безболезненно и в критической точке не равна нулю: $y''(x_0) 0$ — минимум. При $y''(x_0) = 0$ тест ничего не говорит — возвращайтесь к знакам первой производной по обе стороны точки.

Алгоритм через производную: критические точки, знаки y' слева и справа, максимум/минимум/перегиб, наибольшие и наименьшие значения на отрезке. Разбор кубической параболы с границами и таблица «ситуация → метод».

Сложность: Первый курс 2 схемы действий

Экстремумы — точки, в которых функция переключается с роста на убывание или наоборот. Это самый прикладной вопрос всего анализа: и в контрольных («найдите точки максимума и минимума»), и в задачах оптимизации («при каком объёме издержки минимальны»). Определение и строгая теория — в термине экстремум и уроке исследование функций и построение графиков; здесь — рабочий алгоритм.

Идея геометрическая: пока $y^{'} > 0$ — функция растёт, пока $y^{'} < 0$ — убывает. Горизонтальная касательная ( $y^{'} = 0$ ) или сломанный график ( $y^{'}$ не существует) — сигнал о возможной смене направления. Такие точки-кандидаты зовутся критическими, а звание максимума или минимума им присуждает только смена знака $y^{'}$ — не сам ноль производной.

Как найти экстремум функции: алгоритм по шагам#

Область определения: точки разрыва и края — тоже кандидаты; наибольшее и наименьшее значение сравниваются со всеми.
Найдите $y^{'}$ : правила дифференцирования — в уроке правила дифференцирования, таблица — в шпаргалке.
Найдите критические точки: где $y^{'} = 0$ и где $y^{'}$ не существует (модули, корни, дроби с переменным знаменателем). Это только кандидаты, не ответ.
Определите знак $y^{'}$ слева и справа от каждой точки: методом интервалов (корни $y^{'}$ на оси, как в неравенствах) или подстановкой пробных точек.
Присудите звания: смена знака $y^{'}$ с плюса на минус — точка максимума, с минуса на плюс — точка минимума; знак не сменился — не экстремум (перегиб с горизонтальной касательной). Быстрая проверка второй производной: $y^{''} (x_{0}) < 0$ — максимум, $y^{''} (x_{0}) > 0$ — минимум.
Вычислите значения $y$ в найденных точках: экстремум — это пара $(x_{0}; y_{0})$ , а не только икс.
Для наибольшего и наименьшего значения на отрезке $[a; b]$ сравните значения во всех внутренних кандидатах и на обоих концах: победителя выбирает арифметика, а не звание экстремума.

Пример нахождения экстремумов функции#

Классика контрольных: $y = x^{3} - 3 x$ на отрезке $[- 2; 3]$ . Задача двойная — найти экстремумы и наибольшее/наименьшее значение на отрезке; это два разных вопроса, и ответы у них разные.

ОДЗ — вся прямая, разрывов нет. $y^{'} = 3 x^{2} - 3 = 3 (x - 1) (x + 1)$ существует всюду, критические точки только из $y^{'} = 0$ : $x = \pm 1$ .
Знаки $y^{'}$ : плюс на $(- \infty; - 1)$ , минус на $(- 1; 1)$ , плюс на $(1; + \infty)$ — метод интервалов, как в неравенствах.
$x = - 1$ : плюс сменился минусом — рост сменился падением, точка максимума.
$x = 1$ : минус сменился плюсом — падение сменилось ростом, точка минимума.
Значения: $y (- 1) = - 1 + 3 = 2$ (максимум), $y (1) = 1 - 3 = - 2$ (минимум). Границы отрезка: $y (- 2) = - 8 + 6 = - 2$ , $y (3) = 27 - 9 = 18$ .
Сравнение для наиб/наим: ${2; - 2; - 2; 18}$ . Наибольшее значение $18$ — на правой границе $x = 3$ , а не в внутреннем максимуме! Наименьшее $- 2$ достигается сразу в двух местах: в точке минимума $x = 1$ и на границе $x = - 2$ .

Обратите внимание: внутренний максимум ( $y = 2$ при $x = - 1$ ) проиграл правому концу отрезка. Локальный максимум — чемпион только своей окрестности, а наибольшее значение — чемпион всего отрезка. Смешивать эти вопросы — ошибка номер один темы.

y^{'} (x_{0}) = 0, y^{''} (x_{0}) < 0 \Rightarrow максимум, y^{'} (x_{0}) = 0, y^{''} (x_{0}) > 0 \Rightarrow минимум, [a, b] max f = max {f (a), f (b), f (x_{i})}

достаточное условие через вторую производную (при

y^{''} = 0

возвращайтесь к знакам

y^{'}

) и правило наиб/наим на отрезке: границы плюс внутренние кандидаты

Ситуация	Метод	Результат
$y^{'} = 0$ , знак меняется $+ \to -$	интервалы знаков производной	точка максимума
$y^{'} = 0$ , знак меняется $- \to +$	интервалы знаков производной	точка минимума
$y^{'} = 0$ , знак не меняется	проверка по $y^{''}$ или интервалам	не экстремум: у $y = x^{3}$ в нуле перегиб
$y^{'}$ не существует (модуль, корень)	знаки $y^{'}$ вокруг точки	кандидат на острый экстремум: у $y = ∣ x ∣$ минимум в нуле
наиб/наим на отрезке $[a; b]$	экстремумы внутри + значения на концах	выбирает арифметика сравнения
наиб/наим на интервале	только внутренние кандидаты	может не существовать: у $y = x$ на $(0; 1)$
быстрый тест без интервалов	вторая производная $y^{''} (x_{0})$	$< 0$ максимум, $> 0$ минимум, $= 0$ — неопределённость

Ситуация → метод: карта темы экстремумов

Касательная под вашим пальцем

Тащи точку!

Схватите точку на кривой $y = y = x^{3} - 3 x$ и потащите — касательная (зелёная) всегда показывает мгновенную скорость. Включите «секущую», чтобы увидеть, как при уменьшении $h$ секущая поворачивается в касательную: в этом и есть предел $l i m_{h \to 0} \frac{f ( x _{0} + h ) - f ( x _{0} )}{h}$ .

x₀

-1.60

f(x₀)

0.70

f′(x₀) — касательная

4.680

Заметьте: там, где кривая круче, касательная — круче. Производная и есть «крутизна».

Типичные ошибки

Первая — считать каждую критическую точку экстремумом: у

y = x^{3}

производная

3 x^{2}

обнуляется в нуле, но знака не меняет — это перегиб, а не экстремум. Вторая — забыть границы отрезка при поиске наибольшего и наименьшего значений: в нашем примере наибольшее значение именно на границе. Третья — потерять точки, где

y^{'}

не существует: у

y = ∣ x ∣

производной в нуле нет, а минимум там. Четвёртая — путать точку экстремума (значение

x

) и экстремум функции (значение

y

в этой точке): в ответе обычно нужны и то, и другое.

Проверь себя+15 XP

У $y = x^{3}$ производная $y^{'} = 3 x^{2}$ обращается в ноль при $x = 0$ . Это точка экстремума?

Проверь себя+15 XP

Где $y = x^{3} - 3 x$ достигает наибольшего значения на отрезке $[- 2; 3]$ ?

Частые вопросы

Чем точка экстремума отличается от экстремума?

Точка экстремума — значение $x_{0}$ , при котором достигается максимум или минимум; экстремум — само значение $y_{0} = f (x_{0})$ . Формулировки «найдите точки экстремума» и «найдите экстремумы функции» требуют разного: в первом случае иксы, во втором — пары или значения.

Что делать с точками, где производная не существует?

Включить их в список критических наравне с корнями $y^{'} = 0$ и проверить знаки производной слева и справа. Классика: $y = ∣ x ∣$ — производной в нуле нет, слева минус, справа плюс — минимум. Экстремум — про поведение функции, а не про гладкость.

Когда достаточно второй производной?

Когда $y^{''}$ считается безболезненно и в критической точке не равна нулю: $y^{''} (x_{0}) < 0$ — максимум, $y^{''} (x_{0}) > 0$ — минимум. При $y^{''} (x_{0}) = 0$ тест ничего не говорит — возвращайтесь к знакам первой производной по обе стороны точки.

Куда дальше: полный план исследования с выпуклостью и асимптотами — разбор как исследовать функцию и построить график и урок исследование функций и построение графиков; техника дифференцирования — разбор как решать производные и тренажёр производных. Обоснование необходимого условия — теорема Ферма из урока теоремы о среднем; наклон касательной — в термине касательная.