Вторая производная и производные высших порядков

Скорость — производная пути. Ускорение — производная скорости. Значит, ускорение — производная, взятая дважды: $s^{\prime \prime }$. Тот же ход в графике функции: $y^{\prime }$ ищет вершины и впадины, $y^{\prime \prime }$ отличает чашу от горки. Задание «найдите вторую производную» пугает названием, а делается тем же инструментом, просто два раза подряд. Свою функцию прогоните через решатель производной и сверьте оба прохода.

Идея метода одной строкой#

Ньютон мыслил производными как потоками: флюксия скорости порождала флюксию ускорения — аппарат второй производной вырос из механики, а не из чертежей. Обозначения сосуществуют с тех пор: $f^{\prime \prime }(x)$ и $y^{\prime \prime }$ — школа и инженерия, $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$ — нотация Лейбница, $f^{(n)}$ — высшие порядки. Практика проста: упростите $y^{\prime }$ до удобного вида, потом дифференцируйте снова. Неупрощённая первая производная превращает второй проход в пытку.

Алгоритм: пять шагов#

1. 1
   Найдите первую производную и упростите её: раскройте скобки, сократите дроби.
2. 2
   Продифференцируйте результат ещё раз теми же правилами.
3. 3
   Нужна третья? Повторите проход; порядок пишут в скобках: $f^{(3)}$.
4. 4
   Для сложной функции на каждом проходе держите цепное правило включённым.
5. 5
   Прочитайте знак: $y^{\prime \prime }>0$ — выпуклость вниз (чаша), $y^{\prime \prime }<0$ — вверх (горка); смена знака — точка перегиба.

Разбираем флагманский пример#

Дано $f(x)=x^3-3x^2$. Первый проход: $f^{\prime }(x)=3x^2-6x$. Второй: $f^{\prime \prime }(x)=6x-6$. Ноль второй производной — при $x=1$; слева от единицы $f^{\prime \prime }<0$ (горка), справа $f^{\prime \prime }>0$ (чаша), значит $x=1$ — точка перегиба. Заодно видна иерархия: корни $f^{\prime }$ — кандидаты в экстремумы, корни $f^{\prime \prime }$ — кандидаты в перегибы. Это и есть рабочий смысл второй производной, а не просто «дифференцируем дважды».

Ещё два примера#

Тригонометрический круговорот: у $\sin x$ первая производная $\cos x$, вторая $-\sin x$, третья $-\cos x$, четвёртая — снова $\sin x$. Цикл замкнулся за четыре шага: $f^{(4)}=f$. Этот круговорот — причина, по которой синус описывает колебания: ускорение пропорционально отклонению с обратным знаком. Качели, маятник, переменный ток — всё отсюда.

Экспоненциальный шаблон: $y=e^{2x}$. Каждый проход выносит двойку: $y^{\prime }=2e^{2x}$, $y^{\prime \prime }=4e^{2x}$, а $n$-я производная равна $2^n{e}^{2x}$. Общий закон: $(e^{kx}{)}^{(n)}=k^n{e}^{kx}$. Такие формулы экономят минуты, когда на контрольной просят пятую производную, а не вторую: посчитали степень — и готово.

Четыре типовые ошибки#

• Путают $y^{\prime \prime }$ с $(y^{\prime }{)}^2$: квадрат скорости и ускорение — разные вещи, физики это чувствуют сразу.
• Дифференцируют монстра второй раз, не упростив первый проход. Сначала алгебра, потом производная.
• Объявляют перегиб по одному нулю $y^{\prime \prime }$: нужна ещё смена знака, иначе у $y=x^4$ в нуле найдётся «перегиб», которого нет.
• Теряют цепное правило на втором проходе: $(e^{2x}{)}^{\prime \prime }=4e^{2x}$, а не $2e^{2x}$ — двойка выносится каждый раз.