Производная неявной функции

Уравнение $x^2+y^2=25$ задаёт окружность. Выразить $y$ можно: $y=\pm \sqrt{25-x^2}$ — но знак ветвится, и в каждой задаче придётся выбирать ветку отдельно. А для кривой Декарса $x^3+y^3=3xy$ выразить $y$ школьными функциями невозможно в принципе. Выход: дифференцировать само уравнение, не разворачивая его в явную функцию. Приём называется дифференцированием неявной функции, и он короче, чем звучит.

Идея метода одной строкой#

Секрет в одном соглашении: каждый раз, встречая $y$, вы помните, что это замаскированная функция, и умножаете производную на $y^{\prime }$. Поэтому $(y^2{)}^{\prime }=2y{y}^{\prime }$, а не $2y$. Уравнение после дифференцирования становится линейным относительно $y^{\prime }$ — останется собрать слагаемые и разделить. Для кривой Декарса получится $y^{\prime }=\frac{y-x^2}{y^2-x}$: икс и игрек соседствуют в одном ответе, и это нормально.

Алгоритм: пять шагов#

1. 1
   Дифференцируйте обе части уравнения по $x$; константа справа даёт ноль.
2. 2
   Встретили $y$ — считайте его функцией: после каждого такого слагаемого множитель $y^{\prime }$ обязателен.
3. 3
   Произведения вида $xy$ дифференцируйте полным правилом: $(xy{)}^{\prime }=y+x{y}^{\prime }$.
4. 4
   Соберите слагаемые с $y^{\prime }$ слева, остальные справа, вынесите $y^{\prime }$ за скобку.
5. 5
   Разделите на коэффициент при $y^{\prime }$; для наклона в точке подставьте пару $(x_0,y_0)$ в готовую формулу.

Разбираем флагманский пример#

Считаем $y^{\prime }$ для $x^2+y^2=25$. Дифференцируем: $2x+2y{y}^{\prime }=0$. Переносим: $2y{y}^{\prime }=-2x$. Делим: $y^{\prime }=-\frac{x}{y}$. В точке $(3,4)$ наклон равен $-\frac{3}{4}$. Проверка геометрией: радиус в эту точку имеет наклон $\frac{4}{3}$, произведение $-\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{3}=-1$ подтверждает перпендикулярность радиуса и касательной. Дешёвая и приятная самопроверка — пользуйтесь ею на контрольной.

Ещё два примера#

С произведением: $e^y+xy=e$. Дифференцируем: $e^y{y}^{\prime }+y+x{y}^{\prime }=0$ — слагаемое $xy$ по правилу произведения родило два члена. Группируем: $y^{\prime }(e^y+x)=-y$, итог $y^{\prime }=-\frac{y}{e^y+x}$. Обратите внимание: постоянная $e$ справа исчезла сразу — это число, а не функция.

Богатырь посерьёзнее — кривая Декарса $x^3+y^3=3xy$: дифференцируем, получаем $3x^2+3y^2{y}^{\prime }=3y+3x{y}^{\prime }$, собираем: $y^{\prime }(3y^2-3x)=3y-3x^2$, итог $y^{\prime }=\frac{y-x^2}{y^2-x}$. Историческая деталь: Декарт послал эту кривую Ферма как вызов, полагая задачу о касательной безнадёжной, — Ферма вернул решение быстро и вежливо. Метод, которым пользуетесь вы, отличается от ферма́товского мало.

Четыре типовые ошибки#

• Пишут $(y^2{)}^{\prime }=2y$ и теряют множитель $y^{\prime }$ — самый частый провал на этой теме.
• Забывают второй член в $(xy{)}^{\prime }=y+x{y}^{\prime }$: правило произведения никто не отменял.
• Подставляют точку до решения: сначала общая формула $y^{\prime }(x,y)$, потом числа. В обратном порядке уравнение теряет смысл.
• Делят на коэффициент при $y^{\prime }$, не проверив, что он не ноль: в особых точках кривой наклон может не существовать.