Логарифмическое дифференцирование

Преподаватель пишет на доске $y=x^x$ и просит продифференцировать. Аудитория молчит: степень есть, но переменная сидит и в основании, и в показателе — правило степени молчит, произведение не при чём. Узел распутывает приём под названием логарифмическое дифференцирование, и занимает он пять строк. После него $x^x$ перестаёт пугать, а ведь рядом стоят её сёстры $(x^2+1{)}^x$ и $x^{\sin x}$ — без этого метода они вообще не берутся.

Идея метода одной строкой#

Трюк легален: обе части равенства логарифмируют по одному основанию. Ключевое наблюдение — $\ln (x^x)=x\ln x$, и справа уже стоит знакомая функция, которую дифференцирует каждый. Слева — сложная функция от $y$, поэтому $(\ln y{)}^{\prime }=\frac{y^{\prime }}{y}$. Дальше арифметика: умножаем обе части на $y$ и подставляем исходную функцию вместо $y$. Ответ всегда содержит саму функцию множителем — так и проверяйте.

Алгоритм: пять шагов#

1. 1
   Проверьте область: основание и аргумент должны быть положительными (для $x^x$ это $x>0$).
2. 2
   Прологарифмируйте обе части равенства $y=f(x)$: слева $\ln y$, справа — логарифм выражения.
3. 3
   Раскройте правую часть свойствами логарифма: степень становится множителем, произведение — суммой.
4. 4
   Продифференцируйте обе части по $x$; слева появится $\frac{y^{\prime }}{y}$ — не забудьте цепное правило.
5. 5
   Умножьте на $y$ и подставьте исходную функцию: ответ готов.

Разбираем флагманский пример#

Считаем $(x^x{)}^{\prime }$. Логарифмируем: $\ln y=x\ln x$. Дифференцируем: слева $\frac{y^{\prime }}{y}$, справа правило произведения даёт $1\cdot \ln x+x\cdot \frac{1}{x}=\ln x+1$. Значит $y^{\prime }=y(\ln x+1)=x^x(\ln x+1)$. Проверка точкой: $y^{\prime }(1)=1\cdot (0+1)=1$ — в единице график растёт под сорок пять градусов. Обратите внимание на структуру: сама функция сидит в ответе множителем, и это отличительная примета метода.

Ещё два примера#

Второй уровень: $(x^2+1{)}^x$. Логарифм: $\ln y=x\ln (x^2+1)$. Правая часть — произведение, её производная $\ln (x^2+1)+\frac{2x^2}{x^2+1}$. Итог: $(x^2+1{)}^x\left(\ln (x^2+1)+\frac{2x^2}{x^2+1}\right)$. Попробуйте получить это напрямую — не выйдет: никакое из базовых правил к степени с переменными в обоих этажах не присосётся.

Приём спасает и на длинных произведениях: $(x^2{e}^x\sin x{)}^{\prime }$. Логарифм превращает произведение в сумму: $\ln y=2\ln x+x+\ln (\sin x)$. Дифференцируем почленно: $\frac{2}{x}+1+\mathrm{ctg}x$. Умножаем на $y$: $x^2{e}^x\sin x\left(\frac{2}{x}+1+\mathrm{ctg}x\right)$. Три прохода правила произведения подряд — или одна строка логарифма. Выбор очевиден, когда время на контрольной тикает.

Четыре типовые ошибки#

• Слева пишут $\frac{1}{x}$ вместо $\frac{y^{\prime }}{y}$: логарифм от функции — уже сложная функция, цепное правило обязательно.
• Забыть последний шаг: ответ без множителя $y$ считается незаконченным, даже если всё остальное верно.
• Применять метод к суммам: логарифм суммы не распадается на сумму логарифмов. Территория метода — степени, произведения, частные.
• Игнорировать область определения: при $x<0$ функция $x^x$ в вещественных числах не определена.