📈 Матанализ

Логарифм

Q: Чем ln отличается от log?

Обозначением основания. $\ln x$ — всегда натуральный логарифм по основанию $e \approx 2.718$. Запись $\log x$ коварна: в школьном курсе это основание 10, в высшей математике чаще $e$. Если основание не указано — уточняйте в контексте.

Q: Почему нельзя брать логарифм отрицательного числа?

При вещественных показателях $a^y > 0$ всегда — положительное основание ни при какой степени не даст минус. Уравнение $2^y = -8$ корней не имеет, значит, и $\log_2(-8)$ не существует. В комплексных числах запрет снимается — логарифм становится многозначным.

англ. Logarithm

Показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить данное число: log₂ 8 = 3, потому что 2³ = 8.

Логарифм — это вопрос «в какую степень возвести?». $lo g_{2} 8$ спрашивает: двойку в какой степени нужно возвести, чтобы вышло восемь? Ответ: в третью. Логарифм превращает возведение в степень в обычное число — и заодно превращает умножение в сложение: произведение чисел соответствует сумме их логарифмов. До эры калькуляторов на этом держалась вся вычислительная техника: логарифмические линейки и таблицы заменяли тяжёлое умножение лёгким сложением.

lo g_{a} x = y ⟺ a^{y} = x, a > 0, a \neq = 1, x > 0

Ограничение $x > 0$ не каприз: степень положительного основания всегда положительна, поэтому «логарифм минус пяти» в вещественных числах просто не существует. Два логарифма — звёзды первого курса: натуральный $ln x$ по основанию $e$ (его производная $\frac{1}{x}$ — красивейшая в правилах дифференцирования) и десятичный $l g x$ по основанию 10. Логарифмы измеряют «растянутый» мир: децибелы громкости, шкалу Рихтера, pH раствора — везде шаг шкалы равен умножению в разы.

Все рабочие формулы — сумма, разность, вынос степени, переход к новому основанию — собраны в шпаргалке по логарифмам и степеням. Производные и интегралы с логарифмами — тема уроков про производную сложной функции; закрепить можно в тренажёре производных.

Отработайте свойства на числах, чтобы они перестали быть абстракцией. $lo g_{2} 4 + lo g_{2} 8 = 2 + 3 = 5$ , и действительно $lo g_{2} 32 = 5$ : сумма логарифмов оказалась логарифмом произведения $4 \cdot 8$ . Вынос степени: $lo g_{2} 8 = lo g_{2} 2^{3} = 3$ . Смена основания: $lo g_{2} 5 = \frac{l n 5}{l n 2} \approx \frac{1.609}{0.693} \approx 2.32$ — калькулятор умеет натуральный логарифм, а считать иногда нужно по произвольному основанию.

Логарифмическая шкала — способ увидеть порядок величин: на ней равные расстояния означают умножение на одно и то же число. Децибел: плюс десять децибел — мощность выросла в десять раз. Шкала Рихтера: сдвиг на единицу — амплитуда в десять раз. Если в задаче встречается «во сколько раз», скорее всего, в решении спрятан логарифм. А уравнение $lo g_{a} x = c$ решается возведением основания в степень $c$ — верните определение, и всё сведётся к показательной функции.

Частые вопросы

Чем ln отличается от log?

Обозначением основания. $ln x$ — всегда натуральный логарифм по основанию $e \approx 2.718$ . Запись $lo g x$ коварна: в школьном курсе это основание 10, в высшей математике чаще $e$ . Если основание не указано — уточняйте в контексте.

Почему нельзя брать логарифм отрицательного числа?

При вещественных показателях $a^{y} > 0$ всегда — положительное основание ни при какой степени не даст минус. Уравнение $2^{y} = - 8$ корней не имеет, значит, и $lo g_{2} (- 8)$ не существует. В комплексных числах запрет снимается — логарифм становится многозначным.

пошагово

Решатель логарифмических уравнений

Решить уравнение с логарифмом по шагам

Простейшее log_a x = b — определение логарифма в действии: решатель переведёт его в показательную форму и проверит корни.

Открыть решатель