📈 Матанализ

Производная логарифма

Q: Зачем модуль в производной логарифма?

Потому что $\ln x$ определён только при положительном $x$, а дробь $\tfrac1x$ живёт на всей оси без нуля. Формула $(\ln|x|)' = \tfrac1x$ покрывает и отрицательные: для $x < 0$ производная $\ln(-x)$ равна $\tfrac{-1}{-x} = \tfrac1x$. Именно модуль делает интегрирование $\tfrac1x$ корректным на обеих полуосях.

Q: Как дифференцировать x^x?

Логарифмическим дифференцированием: логарифмируем $\ln y = x\ln x$, берём производные обеих частей $\tfrac{y'}{y} = \ln x + 1$, возвращаем $y' = x^x(\ln x + 1)$. Приём работает для любой функции вида $f(x)^{g(x)}$ — ни степенное, ни показательное правило по отдельности тут не справляются.

англ. Derivative of logarithm

(ln x)′ = 1/x — площадь под гиперболой растёт с скоростью обратной величины; для основания a: (log_a x)′ = 1/(x ln a); модуль для отрицательных x.

Производная натурального логарифма: $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ — самая короткая формула таблицы после константы. Она же определяет $ln x$ как площадь под гиперболой $\frac{1}{t}$ от единицы до $x$ (см. натуральный логарифм). Для произвольного основания множитель: $(lo g_{a} x)^{'} = \frac{1}{x l n a}$ — из перехода $lo g_{a} x = \frac{l n x}{l n a}$ . С цепочкой: $(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ ; для отрицательных аргументов $(ln ∣ x ∣)^{'} = \frac{1}{x}$ — модуль расширяет формулу на всю ось без нуля, что спасает интеграл $\int \frac{d x}{x}$ .

Логарифмическое дифференцирование — приём для степенно-показательных функций: $y = x^{x}$ даёт $ln y = x ln x$ , дифференцируем $\frac{y ^{'}}{y} = ln x + 1$ , значит $y^{'} = x^{x} (ln x + 1)$ . Без логарифма такая функция не берётся ни произведением, ни степенью. Пример с таблицей: скорость роста логарифма падает — $ln 10 \approx 2, 3$ , $ln 100 \approx 4, 6$ , $ln 1000 \approx 6, 9$ : тысячекратный рост добавляет лишь $4, 6$ . Связь с экспонентой взаимная: $(e^{x})^{'} = e^{x}$ и $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ — обратные функции с обратными скоростями; экспонента — в производной экспоненты, сводка — в таблице производных.

(ln x)^{'} = \frac{1}{x}; (lo g_{a} x)^{'} = \frac{1}{x ln a}; (ln ∣ x ∣)^{'} = \frac{1}{x}

три формы и ласточка с модулем

Частые вопросы

Зачем модуль в производной логарифма?

Потому что $ln x$ определён только при положительном $x$ , а дробь $\frac{1}{x}$ живёт на всей оси без нуля. Формула $(ln ∣ x ∣)^{'} = \frac{1}{x}$ покрывает и отрицательные: для $x < 0$ производная $ln (- x)$ равна $\frac{- 1}{- x} = \frac{1}{x}$ . Именно модуль делает интегрирование $\frac{1}{x}$ корректным на обеих полуосях.

Как дифференцировать x^x?

Логарифмическим дифференцированием: логарифмируем $ln y = x ln x$ , берём производные обеих частей $\frac{y ^{'}}{y} = ln x + 1$ , возвращаем $y^{'} = x^{x} (ln x + 1)$ . Приём работает для любой функции вида $f (x)^{g (x)}$ — ни степенное, ни показательное правило по отдельности тут не справляются.