📈 Матанализ

Производная экспоненты

Q: Почему именно e даёт производную без множителя?

Потому что $e$ определяется как предел $(1 + \tfrac1n)^n$, при котором наклон $a^x$ в нуле равен единице. Для другого основания наклон в нуле равен $\ln a$, и он «выскакивает» в производной. Выбор $e$ — выбор единиц измерения роста, при которых формула чистая.

Q: Как продифференцировать e^(−x²)?

Цепным правилом: внешняя экспонента остаётся, множитель — производная $-x^2$: $(e^{-x^2})' = -2x\,e^{-x^2}$. Эта функция — гауссиана, колокол нормального распределения: её производная обнуляется в нуле (вершина), а знаки по сторонам задают рост и спад.

англ. Derivative of exponential

(e^x)′ = e^x — единственная функция, равная своей производной; для основания a: (a^x)′ = a^x·ln a; с внутренним: множитель u′.

Экспонента — единственная ненулевая функция, равная собственной производной: $(e^{x})^{'} = e^{x}$ . Именно это свойство и определяет число $e \approx 2, 718$ : основание подбирается так, чтобы наклон в нуле был единичным. Для произвольного основания множитель — натуральный логарифм: $(a^{x})^{'} = a^{x} ln a$ — проверка на $2^{x}$ : скорость в нуле $ln 2 \approx 0, 693$ , экспонента с основанием два растёт медленнее $e^{x}$ . С цепным правилом: $(e^{k x})^{'} = k e^{k x}$ , $(e^{u})^{'} = e^{u} u^{'}$ .

Почему экспонента всюду в моделях роста? Уравнение $y^{'} = k y$ (скорость пропорциональна значению) описывает размножение бактерий, рост вклада с капитализацией, радиоактивный распад (с $k < 0$ ) — и его решением является $y = C e^{k t}$ . Числовой ориентир: вклад под $10%$ непрерывно растёт как $e^{0, 1 t}$ и удваивается за $\frac{l n 2}{0 , 1} \approx 6, 9$ года. Обратная задача «за какое время величина достигнет уровня» даёт показательное уравнение — решатель показательных уравнений и термин показательное уравнение; производная логарифма — зеркальный факт в производной логарифма.

(e^{x})^{'} = e^{x}; (a^{x})^{'} = a^{x} ln a; (e^{k x + b})^{'} = k e^{k x + b}

три формы: базовая, по основанию и с линейным внутренним

Частые вопросы

Почему именно e даёт производную без множителя?

Потому что $e$ определяется как предел $(1 + \frac{1}{n})^{n}$ , при котором наклон $a^{x}$ в нуле равен единице. Для другого основания наклон в нуле равен $ln a$ , и он «выскакивает» в производной. Выбор $e$ — выбор единиц измерения роста, при которых формула чистая.

Как продифференцировать e^(−x²)?

Цепным правилом: внешняя экспонента остаётся, множитель — производная $- x^{2}$ : $(e^{- x^{2}})^{'} = - 2 x e^{- x^{2}}$ . Эта функция — гауссиана, колокол нормального распределения: её производная обнуляется в нуле (вершина), а знаки по сторонам задают рост и спад.