📈 Матанализ

Показательное уравнение

Q: Почему приведение к одному основанию законно?

Потому что показательная функция с основанием $a > 0$, $a \neq 1$ строго монотонна: растёт при $a > 1$, убывает при $0 < a < 1$, но в обоих случаях каждое значение достигается один раз. Равенство $a^u = a^v$ возможно только при $u = v$ — это и есть переход к показателям без потери и без добавления корней.

Q: Что делать, если основания нельзя привести к общему?

Логарифмировать обе части: $3^x = 5^{x+1}$ после $\ln$ даёт $x\ln 3 = (x+1)\ln 5$, линейное уравнение с ответом $x = \tfrac{\ln 5}{\ln 3 - \ln 5} \approx -3{,}55$. Числовой ответ иррационален — это нормально; проверка подстановкой через калькулятор подтверждает равенство с точностью округления.

англ. Exponential equation

Уравнение с неизвестным в показателе: aˣ = b решается приведением к одному основанию или логарифмированием; aˣ = 0 корней не имеет.

Показательное уравнение прячет переменную в показателе степени: $2^{x} = 8$ , $3^{2 x - 1} = 27$ , $5^{x + 1} + 5^{x} = 150$ . Два базовых приёма. Первый — приведение к одному основанию: $8 = 2^{3}$ , значит $2^{x} = 2^{3}$ и $x = 3$ — показательная функция строго монотонна, равенство степеней означает равенство показателей. Второй — логарифмирование обеих частей: $3^{x} = 17$ даёт $x = \frac{l n 17}{l n 3} \approx 2, 58$ — честная форма ответа для нетабличных случаев.

Три дисциплинарных факта. Первый: $a^{x} = 0$ решений не имеет — показательная функция положительна всегда; уравнение $2^{x} = - 4$ отвечает «решений нет» без вычислений. Второй: суммы степеней собираются вынесением наименьшей — $5^{x + 1} + 5^{x} = 150$ даёт $5^{x} (5 + 1) = 150$ , то есть $5^{x} = 25$ и $x = 2$ . Третий: замена $t = a^{x} > 0$ для уравнений с двумя степенями, например $4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 4 = 0$ превращается в $t^{2} - 5 t + 4 = 0$ , кандидаты $1$ и $4$ — оба положительные — и возврат даёт $x = 0, 2$ . Схема замены с барьером положительности — общий приём из метода замены переменной; формулы степеней — в шпаргалке логарифмов и степеней.

a^{u (x)} = a^{v (x)} \Leftrightarrow u (x) = v (x); a^{x} = b \Rightarrow x = lo g_{a} b (b > 0)

монотонность снимает степени; нетабличные ответы уходят в логарифм

Частые вопросы

Почему приведение к одному основанию законно?

Потому что показательная функция с основанием $a > 0$ , $a \neq = 1$ строго монотонна: растёт при $a > 1$ , убывает при $0 < a < 1$ , но в обоих случаях каждое значение достигается один раз. Равенство $a^{u} = a^{v}$ возможно только при $u = v$ — это и есть переход к показателям без потери и без добавления корней.

Что делать, если основания нельзя привести к общему?

Логарифмировать обе части: $3^{x} = 5^{x + 1}$ после $ln$ даёт $x ln 3 = (x + 1) ln 5$ , линейное уравнение с ответом $x = \frac{l n 5}{l n 3 - l n 5} \approx - 3, 55$ . Числовой ответ иррационален — это нормально; проверка подстановкой через калькулятор подтверждает равенство с точностью округления.

пошагово

Решить a^x = b по шагам

Приведение к одному основанию или логарифмирование: решатель покажет каждый шаг и проверит корень подстановкой.

Открыть решатель