Простейшие показательные уравнения: a^x = b

Шаблон $a^x=b$ — стартовая точка всей темы: неизвестное сидит в показателе, и вопрос звучит как «в какую степень возвести $a$, чтобы получить $b$». Показательные уравнения встречаются в задании 6 ЕГЭ, в ОГЭ и в половине прикладных задач о росте и распаде. Свой пример прогоните через решатель показательных уравнений и сверьте шаги с разбором.

Идея метода одной строкой#

Показательная функция строго монотонна: растёт при $a>1$ и убывает при $0<a<1$, но в обоих случаях каждое значение достигается ровно один раз. Поэтому $2^u=2^v$ возможно только при $u=v$ — и уравнение мгновенно превращается из степенного в линейное. Если основания не приводятся друг к другу, работает логарифмирование: $x={\log }_{a}b$ — честный точный ответ. Единственная безнадёжная ситуация — правая часть не положительна: $a^x>0$ при любом $x$, и уравнение $2^x=-4$ не имеет решений по определению.

Алгоритм: четыре шага#

1. 1
   Проверьте правую часть: если $b\le 0$, решений нет — дальше идти незачем.
2. 2
   Приведите обе части к одному основанию: разложите $b$ на степени (32 = 2⁵, 0{,}04 = 5⁻²), а если не получается — считайте ${\log }_{a}b$.
3. 3
   Приравняйте показатели и решите получившееся линейное (или квадратное) уравнение.
4. 4
   Проверьте корень подстановкой — одна строка, а ловит и арифметику, и знак.

Разбираем флагманский пример#

Решаем $2^{3x-1}=32$. Правая часть положительна — решения существуют. Представляем $32=2^5$; уравнение принимает вид $2^{3x-1}=2^5$. Монотонность снимает степени: $3x-1=5$, откуда $3x=6$ и $x=2$. Проверка: $2^{3\cdot 2-1}=2^5=32$ — сошлось. Три строки решения, ноль калькулятора: почти вся первая часть таких уравнений строится на узнавании степеней двойки, тройки и пятёрки.

Второй пример — с дробной правой частью: $5^{2x}=0,04$. Четыре сотых — это $\frac{1}{25}=5^{-2}$, значит $2x=-2$ и $x=-1$. Отрицательный показатель перевернул дробь — и это не «странный ответ», а норма темы: минус в показателе появляется каждый раз, когда правая часть меньше единицы. Третий сюжет — нетабличная правая часть: $3^x=17$ после логарифмирования даёт $x=\frac{\ln 17}{\ln 3}\approx 2,58$; ответ в виде логарифма точнее любого округления и засчитывается экзаменом. Оба пути — приведение и логарифмирование — показывает решатель показательных уравнений в режиме линейного показателя.

Частные случаи, которые экономят время#

Типовые ошибки#

• Складывать показатели при умножении степеней с разными основаниями: $2^x\cdot 3^x$ — это $6^x$, а не $6^{2x}$; свойства работают только внутри одного основания.
• Искать решение у $2^x=-4$. Показательная функция не принимает отрицательных значений — честный ответ «решений нет», а не минус два.
• Делить обе части на $a^x$ без остатка. В $4^x-2^x=0$ деление на $2^x$ теряет корень $x=0$; правильный путь — вынесение общего множителя или замена.
• Потерять минус при переходе к основанию меньше единицы: ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x=8$ даёт $x=-3$, а не $3$.