Вынесение общего множителя: суммы степеней

Третий частотный тип: сумма двух степеней с одинаковым основанием и разными показателями — $5^{x+1}+5^x=150$, $3^x+3^{x+2}=90$. Квадратная замена здесь не нужна: работает вынесение наименьшей степени за скобку, и в скобке остаётся чистое число. Метод — прямое применение свойства $a^{m+n}=a^m\cdot a^n$ и экономит полстраницы преобразований.

Идея метода одной строкой#

Почему выносится именно наименьшая? Потому что $a^{x+1}=a^x\cdot a$: множитель $a^x$ — общий для обоих слагаемых, а разность показателей превращается в числовой множитель. Если вынести большую степень, в скобке появятся дроби $a^{-1}+1$ — тоже верно, но длиннее. Показатель может быть любой: $3^{x+2}=9\cdot 3^x$, $2^{2x+1}=2\cdot 4^x$ — приём сводит любую сумму степеней одной переменной к одному множителю.

Алгоритм: четыре шага#

1. 1
   Найдите наименьшую степень переменной — её выносите за скобку.
2. 2
   Разложите каждое слагаемое: $a^{x+1}=a^x\cdot a$; сложите числовые множители в скобке.
3. 3
   Разделите правую часть на скобку — получите простейшее уравнение $a^x=b$.
4. 4
   Решите его приведением к одному основанию или логарифмированием; проверьте подстановкой.

Разбираем флагманский пример#

Решаем $5^{x+1}+5^x=150$. Наименьшая степень — $5^x$: выносим, получаем $5^x(5+1)=150$, то есть $5^x\cdot 6=150$. Отсюда $5^x=25=5^2$, значит $x=2$. Проверка: $5^3+5^2=125+25=150$ — сошлось. Вся решение — четыре строки; попытка решать «через логарифмы сразу» здесь только добавила бы работы.

Второй пример — с коэффициентом: $3\cdot 2^{x+1}-2^x=40$. Выносим $2^x$: $2^x(3\cdot 2-1)=40$, то есть $2^x\cdot 5=40$, $2^x=8$, $x=3$. Третий сюжет — три слагаемых: $2^{x+2}-2^{x+1}+2^x=28$ даёт $2^x(4-2+1)=28$, $2^x=4$, $x=2$. Механика одна: скобка превращается в число, и остаётся простейшее уравнение. Все три шага с проверкой показывает решатель показательных уравнений.

Отдельный бонус метода: сумма степеней — это частичная сумма геометрической прогрессии. Уравнение $2^0+2^1+\cdots +2^{10}=2047$ решается формулой суммы, но и вынесением: добавьте $2^{11}$, вычтите его — тот же ответ. Связь полезна в задачах про удвоение зерна на шахматной доске и сложные проценты с годовыми взносами.

Когда скобка отрицательна или равна нулю#

Второй случай редко замечают: в $2^{x+2}-5\cdot 2^x=2$ вынос даёт $2^x(4-5)=2$, то есть $2^x\cdot (-1)=2$ — левая часть отрицательна, правая положительна. Решений нет, и это честный ответ: делить на минус единицу можно, но $2^x=-2$ не имеет корней. Контроль знака скобки экономит время и спасает от поиска несуществующего логарифма.

Типовые ошибки#

• Вынести степень неправильно: $5^{x+1}=5\cdot 5^x$, а не $5\cdot 5^{x+1}$ — множитель равен основанию в разности показателей.
• Складывать показатели при сложении степеней: $5^{x+1}+5^x$ — это не $10^{2x+1}$ и не $5^{2x+1}$; сложение степеней не упрощается, работает только вынесение.
• Разделить на скобку, не проверив её знак: при нулевой скобке деление незаконно, а уравнение требует отдельного разбора.
• Забыть проверить корень: одна строка подстановки ловит и потерянный множитель, и знак.