Показательное уравнение с заменой t = a^x

Если в уравнении показательная функция встречается в квадрате и в первой степени, а свободный член — число, перед вами квадратное уравнение в маске: $2^{2x}-5\cdot 2^x+4=0$. Замена $t=2^x$ снимает маску и оставляет трёхчлен $t^2-5t+4=0$. Метод — прямой родственник замен в логарифмических и тригонометрических уравнениях, с одним отличием: барьер односторонний, $t>0$.

Идея метода одной строкой#

Узнать уравнение этого типа просто: одна показательная функция в двух степенях. Частая ловушка — разные основания: в $4^x-5\cdot 2^x+4=0$ спрятаны два основания, и перед заменой их надо привести к одному: $4^x=2^{2x}$. Правило то же, что и в степенях: ищите наименьшее общее основание, а коэффициенты при степенях выносите наружу.

Алгоритм: пять шагов#

1. 1
   Приведите все степени к одному основанию: $4^x=2^{2x}$, $9^x=3^{2x}$, ${\left(\frac{1}{8}\right)}^x=2^{-3x}$.
2. 2
   Замена $t=a^x$ с барьером $t>0$ — уравнение становится квадратным.
3. 3
   Решите квадратное уравнение через дискриминант или Виета.
4. 4
   Отбор: кандидаты $t\le 0$ отбрасываются — показательная функция их не принимает.
5. 5
   Возврат: $x={\log }_{a}t$ для каждого выжившего $t$; табличные $t$ дают целые или дробные ответы без калькулятора.

Разбираем флагманский пример#

Решаем $2^{2x}-5\cdot 2^x+4=0$. Замена $t=2^x$ даёт $t^2-5t+4=0$. По Виета кандидаты видны сразу: $t=1$ и $t=4$ — сумма пять, произведение четыре. Оба положительны, барьер не режет ничего. Возврат: $2^x=1$ даёт $x=0$; $2^x=4$ даёт $x=2$. Ответ: $x=0$ и $x=2$. Проверка первого: $1-5+4=0$ — верно. Оба шага с графиком воспроизводит решатель показательных уравнений в режиме квадратной замены.

Второй пример — с отбором: $2^{2x}+3\cdot 2^x-4=0$. Замена даёт $t^2+3t-4=0$, дискриминант $25$, кандидаты $t=1$ и $t=-4$. Минус четыре за барьером: показательная функция не бывает отрицательной — кандидат отбрасывается, остаётся $x=0$. Третий пример — с коэффициентом: $2\cdot 2^{2x}-9\cdot 2^x+4=0$ даёт $2t^2-9t+4=0$, дискриминант $49$, кандидаты $t=\frac{1}{4}$ и $t=4$ — оба живы, ответы $x=-2$ и $x=2$. Отрицательный корень появился не «из воздуха», а из дробного кандидата: $2^x=\frac{1}{4}$ значит $x=-2$.

Что происходит с числом корней#

Вторая строка таблицы — любимая ловушка составителей. В примере $2^{2x}+3\cdot 2^x-4=0$ квадратное уравнение полностью «успешно», но живой кандидат один. Запись в ответе минус четырёх или попытка посчитать ${\log }_2(-4)$ — ошибка: логарифм отрицательного числа не существует.

Типовые ошибки#

• Забыть возврат к x и оставить в ответе $t$. Ответ уравнения — значения $x$; замена — промежуточная величина.
• Принять кандидата $t\le 0$. Показательная функция положительна всегда: ${\log }_2(-4)$ не существует, а не «отрицательный логарифм».
• Не привести основания перед заменой: $4^x-5\cdot 2^x+4$ с заменой $t=4^x$ не распадается — сначала $4^x=2^{2x}$.
• Потерять знак при отрицательных кандидатах с дробями: $2^x=\frac{1}{4}$ даёт $x=-2$ — законный корень, а не ошибку.