Сведение тригонометрического уравнения к квадратному

Если в уравнении тригонометрическая функция встречается в квадрате и в первой степени, а свободный член — число, перед вами квадратное уравнение в маске: $2{\sin }^{2}x-5\sin x+2=0$. Замена $t=\sin x$ снимает маску и оставляет обычный трёхчлен. Метод зеркально повторяет замену в логарифмических уравнениях — с одним важным отличием: у синуса и косинуса есть жёсткий барьер $|t|\le 1$, и кандидаты за барьером отбрасываются.

Идея метода одной строкой#

Узнать уравнение этого типа просто: одна функция (синус или косинус) в двух степенях, других функций нет. Если в уравнении затесался и синус, и косинус одновременно в первой степени — это работа для вспомогательного угла. А если степени разные, скажем ${\sin }^{2}x$ и $\sin x$, — замена.

Алгоритм: пять шагов#

1. 1
   Замена: $t=\sin x$ (или $t=\cos x$ — смотрите, какая функция в уравнении).
2. 2
   Решите квадратное уравнение относительно $t$ через дискриминант или Виета.
3. 3
   Отбор кандидатов: $|t|\le 1$ — значения вне отрезка не соответствуют никакому углу.
4. 4
   Возврат: для каждого выжившего $t$ решите простейшее уравнение $\sin x=t$ и запишите серию.
5. 5
   Проверка серии подстановкой при $k=0$ и $k=1$ — убеждаемся, что обе ветки дают верное равенство.

Разбираем флагманский пример#

Решаем $2{\sin }^{2}x-5\sin x+2=0$. Замена $t=\sin x$ даёт $2t^2-5t+2=0$. Дискриминант $D=25-16=9$, корень равен трём. Кандидаты: $t=\frac{5\pm 3}{4}$, то есть $t_1=2$ и $t_2=\frac{1}{2}$.

Отбор: двойка за барьером — синус не бывает больше единицы, кандидат $t=2$ отбрасывается. Осталась половина. Возврат: $\sin x=\frac{1}{2}$ — простейшее уравнение, серия $x=(-1{)}^k\frac{\pi }{6}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$. Ответ готов. Обратите внимание, как сократилось множество: из двух алгебраических корней выжил один, и он распустился в бесконечную серию углов. Решатель тригонометрических уравнений в режиме «сведение к квадратному» показывает и график $\sin x$ с горизонтальными прямыми-кандидатами — сразу видно, какая прямая пересекает график, а какая проходит выше.

Если функций две: понижение степени#

Частый усложнитель: в уравнении есть и ${\sin }^{2}x$, и ${\cos }^{2}x$, либо квадрат одной функции и линейный член другой. Тогда перед заменой уравнение приводят к одной функции формулой понижения степени ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ или основным тождеством ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$. Пример: $2{\sin }^{2}x+\cos 2x=1$. Замените $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$ — получите $2{\sin }^{2}x+1-2{\sin }^{2}x=1$, тождество: решением является любой $x$. Иногда после понижения степени всё схлопывается в верное равенство — и это тоже полноценный ответ.

Типовые ошибки#

• Принять кандидата за барьером. Синус и косинус ограничены единицей; $t=2$ не «редкий угол», а пустое множество — отбрасывайте.
• Забыть про вторую ветку серии. Простейшее уравнение $\sin x=\frac{1}{2}$ даёт два положения на окружности; серия через $(-1{)}^k$ держит обе — пишите её целиком.
• Смешать замену для синуса и для косинуса. Возврат делается к той функции, которую заменяли: после $t=\cos x$ серия строится арккосинусом, а не арксинусом.
• Сократить уравнение на sin x. Деление на функцию теряет корни: вынесите общий множитель $\sin x(\dots )=0$ и разберите оба множителя.