Простейшие тригонометрические уравнения: sin x = a, cos x = a

Вся тригонометрия уравнений держится на четырёх шаблонах: $\sin x=a$, $\cos x=a$, $\tan x=a$ и $\cot x=a$. Из них собирается всё остальное: и уравнения с двойными углами, и вспомогательный угол, и сведение к квадратному. В отличие от обычных алгебраических уравнений, здесь у корня бесконечно много значений — они повторяются с периодом. Свой пример прогоните через решатель тригонометрических уравнений и сравните серию со своим ответом.

Идея метода: картинка вместо формулы#

Представьте единичную окружность: её горизонтальный диаметр отвечает косинусу, вертикальный — синусу. Уравнение $\sin x=\frac{1}{2}$ — это вопрос «в каких точках ордината равна половине?» Проводим горизонтальную прямую $y=\frac{1}{2}$ — она пересекает окружность в двух точках. Первая отвечает углу $\frac{\pi }{6}$, вторая — $\frac{5\pi }{6}$. А чтобы не перечислять бесконечный список поворотов, пишут серию: $(-1{)}^k\frac{\pi }{6}+\pi k$. Множитель $(-1{)}^k$ переключает между двумя точками, слагаемое $\pi k$ делает полный оборот или пол-оборота.

Алгоритм: пять шагов#

1. 1
   Приведите уравнение к шаблону: разделите обе части на коэффициент — из $2\sin x=1$ получится $\sin x=\frac{1}{2}$.
2. 2
   Проверьте условие существования: для синуса и косинуса правая часть обязана лежать в отрезке от $-1$ до $1$.
3. 3
   Отметьте решения на единичной окружности: горизонтальная прямая для синуса, вертикальная для косинуса.
4. 4
   Запишите серию через арксинус/арккосинус с периодом, или через частные случаи, если правая часть — $0$, $\pm 1$.
5. 5
   Если в задаче спрашивается отрезок — отберите корни из него по окружности или графиком; иначе серия и есть ответ.

Разбираем флагманский пример#

Решаем $2\sin x=1$. Делим на два: $\sin x=\frac{1}{2}$. Условие $|\frac{1}{2}|\le 1$ выполнено. Арксинус половины — $\frac{\pi }{6}$: именно столько радиан нужно, чтобы ордината точки стала равной половине. Серия: $x=(-1{)}^k\frac{\pi }{6}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$. При чётных $k$ получаем $\dots ,-\frac{11\pi }{6},\frac{\pi }{6},\frac{13\pi }{6},\dots$; при нечётных — $\dots ,\frac{5\pi }{6},\frac{17\pi }{6},\dots$ Обе ветки — точки пересечения прямой $y=\frac{1}{2}$ с окружностью.

Форму записи можно выбирать: для косинуса привычнее $x=\pm \arccos a+2\pi n$, для синуса — через $(-1{)}^k$ или через две серии $x=\arcsin a+2\pi n$ и $x=\pi -\arcsin a+2\pi n$. Все три записи эквивалентны, и проверяющий обязан принимать любую корректную. Именно разные формы сравнивает решатель тригонометрических уравнений в шагах решения.

Проверка, что серия верна: подставьте $k=0$ в $(-1{)}^k\frac{\pi }{6}+\pi k$ — получится $\frac{\pi }{6}$, и $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$. Подставьте $k=1$ — получится $-\frac{\pi }{6}+\pi =\frac{5\pi }{6}$, и $\sin \frac{5\pi }{6}=\frac{1}{2}$. Две точки сошлись с картинкой — серия рабочая.

Таблица общих решений#

Частные случаи для $0$ и $\pm 1$ запоминаются через окружность: ноль у синуса — вся горизонтальная ось, точки $\pi k$; косинус единица — только правый край, полный оборот $2\pi n$; косинус минус единица — левый край. Тангенсу всё равно на знак: его серия всегда одна, с периодом $\pi$.

Типовые ошибки#

• Написать период $2\pi$ у синуса. Серия синуса живёт с шагом $\pi$: две точки на окружности чередуются через пол-оборота. Период $2\pi$ оставит лишь половину корней.
• Забыть минус-плюс у арккосинуса. Косинус симметричен относительно горизонтальной оси, точек всегда две (кроме $\pm 1$): $\pm \arccos a+2\pi n$.
• Потерять условие существования. Для $\sin x=\frac{3}{2}$ решений нет — прямая $y=\frac{3}{2}$ окружность не пересекает; ответ «решений нет» честный и полный.
• Ответить серией там, где спрашивается корень из отрезка. Серия — это бесконечное множество; если в условии отрезок, из него выбирают конкретные значения перебором по $k$ или по графику.