📈 Матанализ

Натуральный логарифм

Q: Почему ln 10 ≈ 2,3, а не 1?

Потому что $e \approx 2{,}718$, и чтобы добраться до десяти, основание надо возвести в степень больше единицы: $e^{2} \approx 7{,}39$ — ещё мало, $e^{3} \approx 20{,}1$ — уже много. Истина между двойкой и тройкой: $\ln 10 \approx 2{,}3026$. Множитель $2{,}3026$ (или обратный $0{,}4343$) переводит натуральные логарифмы в десятичные и обратно.

англ. Natural logarithm

Логарифм по основанию e ≈ 2,71828, обозначается ln x; его производная равна 1/x, поэтому он основной в матанализе, физике и экономике.

Натуральный логарифм $ln x = lo g_{e} x$ использует основание $e \approx 2, 718$ — иррациональное число, возникающее из предела $(1 + \frac{1}{n})^{n}$ . В отличие от десятичного логарифма, пришедшего из практики счёта, натуральный вырос из математики роста: площадь под гиперболой $y = \frac{1}{x}$ от единицы до $x$ равна ровно $ln x$ , а производная $ln x$ равна $\frac{1}{x}$ — без всяких поправочных множителей. Поэтому в матанализе, физике и финансовой математике по умолчанию пишут именно $ln$ .

Числовая привязка: $ln 1 = 0$ , $ln e = 1$ , $ln 10 \approx 2, 3026$ — отсюда перевод между логарифмами: $lo g_{10} x = ln x / ln 10 \approx 0, 4343 \cdot ln x$ . Непрерывное начисление процентов даёт множитель $e^{r t}$ , и время удвоения вклада считается как $ln 2/ r \approx 0, 693/ r$ — при ставке $7%$ это около десяти лет. Производные и интегралы с $ln$ встречаются в уроке производная: определение; свойства и формулы — в шпаргалке логарифмов и степеней.

ln x = \int_{1}^{x} \frac{d t}{t}, (ln x)^{'} = \frac{1}{x}, ln 2 \approx 0, 6931

натуральный логарифм как площадь под гиперболой; производная без поправок

Частые вопросы

Почему ln 10 ≈ 2,3, а не 1?

Потому что $e \approx 2, 718$ , и чтобы добраться до десяти, основание надо возвести в степень больше единицы: $e^{2} \approx 7, 39$ — ещё мало, $e^{3} \approx 20, 1$ — уже много. Истина между двойкой и тройкой: $ln 10 \approx 2, 3026$ . Множитель $2, 3026$ (или обратный $0, 4343$ ) переводит натуральные логарифмы в десятичные и обратно.

Когда в задачах использовать ln, а когда log₂?

По контексту задачи. Непрерывный рост, распад, интегрирование, упрощение производных — всюду $ln$ . Информатика и двоичные структуры любят $lo g_{2}$ : высота дерева из тысячи элементов равна $lo g_{2} 1000 \approx 10$ уровней. Суть одна — отличается множителем перехода к другому основанию.