📈 Матанализ

Преобразование суммы в произведение

Q: Почему у разности косинусов минус?

Потому что косинус убывает: при $\alpha > \beta$ значение $\cos\alpha$ меньше, разность отрицательна, а правая часть с произведением синусов полусуммы и полуразности может быть любого знака. Знак минус восстанавливает равенство; проверить легко на $\alpha = \pi$, $\beta = 0$: слева $-2$, справа $-2\sin\tfrac{\pi}{2}\sin\tfrac{\pi}{2} = -2$.

Q: Как решать уравнение sin 5x = sin x методом сумм?

Перенесите всё влево и примените формулу: $\sin 5x - \sin x = 2\cos 3x\sin 2x = 0$. Совокупность: $\cos 3x = 0$ даёт $x = \tfrac{\pi}{6} + \tfrac{\pi k}{3}$, $\sin 2x = 0$ даёт $x = \tfrac{\pi k}{2}$. Альтернативный путь — через общие решения обоих равенств и пересечение серий — длиннее и чаще ошибочен.

англ. Sum-to-product formulas

Формулы sin α + sin β = 2·sin((α+β)/2)·cos((α−β)/2) и для косинусов: сумма двух функций одной природы распадается на множители.

Сумма (и разность) двух синусов или косинусов сворачивается в произведение: $sin α + sin β = 2 sin \frac{α + β}{2} cos \frac{α - β}{2}$ , $sin α - sin β = 2 cos \frac{α + β}{2} sin \frac{α - β}{2}$ , $cos α + cos β = 2 cos \frac{α + β}{2} cos \frac{α - β}{2}$ , $cos α - cos β = - 2 sin \frac{α + β}{2} sin \frac{α - β}{2}$ . Формулы — переименованные произведения в сумму: обозначьте полусумму и полуразность новыми буквами.

Ценность — расщепление уравнения на множители. Уравнение $sin 5 x = sin x$ после переноса даёт $sin 5 x - sin x = 0$ , формула превращает в $2 cos 3 x sin 2 x = 0$ — совокупность $cos 3 x = 0$ и $sin 2 x = 0$ , четыре серии корней вместо непроходимого равенства синусов. Полусумма и полуразность аргументов — новая «средняя точка» и «разбег»: $sin 5 x - sin x$ среднее $3 x$ , разбег $2 x$ . В суммах с тремя слагаемыми группируют пару с близкими аргументами. Полный набор — в шпаргалке тригонометрических формул.

sin α + sin β = 2 sin \frac{α + β}{2} cos \frac{α - β}{2}; cos α - cos β = - 2 sin \frac{α + β}{2} sin \frac{α - β}{2}

формула для суммы синусов и самая «опасная» — для разности косинусов

Частые вопросы

Почему у разности косинусов минус?

Потому что косинус убывает: при $α > β$ значение $cos α$ меньше, разность отрицательна, а правая часть с произведением синусов полусуммы и полуразности может быть любого знака. Знак минус восстанавливает равенство; проверить легко на $α = π$ , $β = 0$ : слева $- 2$ , справа $- 2 sin \frac{π}{2} sin \frac{π}{2} = - 2$ .

Как решать уравнение sin 5x = sin x методом сумм?

Перенесите всё влево и примените формулу: $sin 5 x - sin x = 2 cos 3 x sin 2 x = 0$ . Совокупность: $cos 3 x = 0$ даёт $x = \frac{π}{6} + \frac{π k}{3}$ , $sin 2 x = 0$ даёт $x = \frac{π k}{2}$ . Альтернативный путь — через общие решения обоих равенств и пересечение серий — длиннее и чаще ошибочен.