📈 Матанализ

Преобразование произведения в сумму

Q: Как запомнить, где минус, а где плюс?

У синусового произведения минус перед $\cos(\alpha+\beta)$: вычтите $\sin(\alpha-\beta)$ из $\sin(\alpha+\beta)$ — слагаемые с $\sin\alpha\cos\beta$ удвоятся, с $\cos\alpha\sin\beta$ — исчезнут. У косинусового плюс. Быстрая проверка на $\alpha = \beta$: $\sin^2\alpha = \tfrac12[1 - \cos 2\alpha]$ — знакомая формула понижения степени.

Q: Когда произведение лучше оставить произведением?

Когда множители расцепляются иначе: общий множитель $\sin 3x\cos 3x = \tfrac12\sin 6x$ — это двойной угол, а не произведение-в-сумму; или когда один множитель равен нулю на части ОДЗ. Правило: сначала ищите одинаковые аргументы и нули, и только потом разворачивайте в сумму.

англ. Product-to-sum formulas

Формулы sin α·sin β = ½[cos(α−β) − cos(α+β)] и подобные: произведение функций превращается в сумму — расцепляет множители в уравнениях.

Произведение двух тригонометрических функций сворачивается в сумму: $sin α sin β = \frac{1}{2} [cos (α - β) - cos (α + β)]$ , $cos α cos β = \frac{1}{2} [cos (α - β) + cos (α + β)]$ , $sin α cos β = \frac{1}{2} [sin (α + β) + sin (α - β)]$ . Формулы читаются из сложения аргументов сложением и вычитанием двух записей — синуса суммы и синуса разности.

Зачем превращать произведение в сумму? Чтобы расцепить множители. Уравнение $sin 3 x cos x = sin 5 x cos x$ после вынесения решается мгновенно, но в общем виде произведение с разными аргументами непроходимо: сумма же распадается на простейшие уравнения. Пример: $2 sin 2 x sin 3 x = 1$ превращается в $cos x - cos 5 x = 1$ — сумма косинусов с разными частотами, дальше работает сумма в произведение: $- 2 sin 3 x sin (- 2 x) = 1$ — круг замкнулся, и уравнение берётся отбором. В интегралах $\int sin 2 x cos 3 x d x$ та же формула — единственный вход без замены.

sin α sin β = \frac{1}{2} [cos (α - β) - cos (α + β)]; cos α cos β = \frac{1}{2} [cos (α - β) + cos (α + β)]

две главные формулы; третья — для sin·cos — с плюсом и синусами

Частые вопросы

Как запомнить, где минус, а где плюс?

У синусового произведения минус перед $cos (α + β)$ : вычтите $sin (α - β)$ из $sin (α + β)$ — слагаемые с $sin α cos β$ удвоятся, с $cos α sin β$ — исчезнут. У косинусового плюс. Быстрая проверка на $α = β$ : $sin^{2} α = \frac{1}{2} [1 - cos 2 α]$ — знакомая формула понижения степени.

Когда произведение лучше оставить произведением?

Когда множители расцепляются иначе: общий множитель $sin 3 x cos 3 x = \frac{1}{2} sin 6 x$ — это двойной угол, а не произведение-в-сумму; или когда один множитель равен нулю на части ОДЗ. Правило: сначала ищите одинаковые аргументы и нули, и только потом разворачивайте в сумму.