📈 Матанализ

Формулы сложения аргументов

англ. Angle addition formulas

sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b, cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b — базовые тождества, из которых выводится вся тригонометрия преобразований.

Формулы сложения выражают функции суммы и разности двух углов через функции самих углов: $sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b$ , $cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b$ ; для разности знаки внутри меняются на противоположные. Это фундамент: формулы двойного угла — их частный случай при $b = a$ , формулы приведения следуют из них геометрически, а метод вспомогательного угла — прямое применение в обратную сторону.

Проверка на табличных углах: $sin (30° + 60°) = sin 90° = 1$ , а по формуле $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$ — сходится. Типичная ошибка новичка — «распад» синуса суммы: $sin (a + b) \neq = sin a + sin b$ ; при $a = b = 30°$ слева единица, справа тоже единица… берите $a = b = 45°$ : слева $1$ , справа $2$ — разница видна. Для тангенса формула $tg (a \pm b) = \frac{tg a \pm tg b}{1 \mp tg a tg b}$ работает, когда знаменатель не нулевой. Полный список — в шпаргалке тригонометрических формул.

sin (a \pm b) = sin a cos b \pm cos a sin b; cos (a \pm b) = cos a cos b \mp sin a sin b

формулы сложения и вычитания; знак «∓» в косинусе противоположен знаку суммы

Частые вопросы

Как запомнить знаки в формулах?

У синуса знаки согласованы с суммой: плюс в сумме — плюс справа. У косинуса наоборот: где сумма с плюсом, там справа минус между слагаемыми. Мнемоника: синус — «дружелюбный», повторяет знак; косинус — «скептик», меняет. Проверка на $a = 0$ мгновенно подтверждает: $cos (0 + b) = 1 \cdot cos b - 0 = cos b$ .

Откуда берутся эти формулы?

Из геометрии единичной окружности: поверните точку на угол $a + b$ и спроецируйте. Косинус суммы — абсцисса повернутой точки, которая раскладывается на две проекции через прямоугольные треугольники. Второй путь — комплексные числа: умножение $e^{ia} e^{ib} = e^{i (a + b)}$ и сравнение вещественных и мнимых частей дают обе формулы сразу. В школе доказывают геометрически, в вузе — через экспоненты.