📈 Матанализ

Логарифм произведения

англ. Logarithm of a product

Свойство log_a(uv) = log_a u + log_a v: логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей при их положительности.

Свойство произведения $lo g_{a} (uv) = lo g_{a} u + lo g_{a} v$ — рабочая лошадь логарифмической алгебры. Доказательство в одну строку: $a^{l o g_{a} u + l o g_{a} v} = a^{l o g_{a} u} \cdot a^{l o g_{a} v} = uv$ . Проверка на числах: $lo g_{2} 8 = 3$ и $lo g_{2} 4 = 2$ , а $lo g_{2} 32 = 5$ — сложение сходится. Свойство двустороннее: сворачивает сумму в логарифм произведения и разворачивает логарифм в сумму — оба направления нужны при решении уравнений.

Ограничение жёсткое: оба сомножителя положительны. Свёртка $lo g_{2} x + lo g_{2} (x - 6) = lo g_{2} (x (x - 6))$ расширяет ОДЗ — произведение положительно и при двух минусах, где исходные логарифмы не существуют; поэтому после свёртки корни отбираются по исходной ОДЗ $x > 6$ . Именно так решается типовое уравнение $lo g_{2} x + lo g_{2} (x - 6) = 4$ с кандидатом-ловушкой $x = - 2$ . Полный разбор — на странице сумма логарифмов и отбор корней; базовые свойства — в шпаргалке логарифмов и степеней.

lo g_{a} (uv) = lo g_{a} u + lo g_{a} v (u > 0, v > 0)

логарифм произведения — сумма логарифмов; условие положительности обязательно

Частые вопросы

Почему нельзя складывать логарифмы с разными основаниями?

Свойство произведения работает только внутри одного основания: $lo g_{2} 8 + lo g_{3} 9$ — это $3 + 2 = 5$ , а не $lo g_{5}$ или $lo g_{6}$ чего-либо. Разные основания сначала приводят формулой перехода к общему, и только потом применяют свойства. Смешивать основания — всё равно что складывать метры с килограммами.

Равен ли log(u+v) сумме log u + log v?

Нет, и это самая популярная ошибка темы. Логарифм суммы не распадается: $lo g_{2} (4 + 4) = lo g_{2} 8 = 3$ , а $lo g_{2} 4 + lo g_{2} 4 = 4$ — разные числа. Свойство есть только у произведения и частного; для суммы сначала упрощают выражение алгебраически или выносят общий множитель.