📈 Матанализ

Производная по направлению

англ. Directional derivative

Скорость изменения функции при движении из точки в заданном направлении единичного вектора: скалярное произведение градиента на направление. Максимум скорости — вдоль градиента.

Производная по направлению $\frac{\partial f}{\partial e}$ — скорость изменения функции при движении из точки в направлении единичного вектора $e$ : предел $lim_{t \to 0} \frac{f ( P + t e ) - f ( P )}{t}$ . Для дифференцируемой функции она считается через градиент одним скалярным произведением: $\frac{\partial f}{\partial e} = \nabla f \cdot e$ — проекция градиента на направление. Частные производные — частные случаи: по осям $x$ и $y$ . База — урок частные производные и градиент, понятия — в терминах градиент и частная производная.

Считаем: $f (x, y) = x^{2} y$ , точка $(1; 2)$ , направление $e = (0, 6; 0, 8)$ — единичное, ведь $0, 36 + 0, 64 = 1$ . Градиент $\nabla f = (2 x y, x^{2}) = (4; 1)$ . Производная по направлению: $4 \cdot 0, 6 + 1 \cdot 0, 8 = 3, 2$ — при малом шаге вдоль $(0, 6; 0, 8)$ функция растёт со скоростью $3, 2$ единицы на единицу пути. Максимальная скорость $∣\nabla f ∣ = 17 \approx 4, 12$ достигается вдоль самого градиента $(4; 1)$ , нормированного делением на $17$ ; в противоположную сторону скорость $- 4, 12$ — самый быстрый спуск. Направления, где рост нулевой, перпендикулярны градиенту.

Единичность вектора направления принципиальна: для произвольного вектора $v$ произведение $\nabla f \cdot v$ меряет скорость на единицу параметра, а не на единицу пути, и растёт с длиной вектора — нормировать обязательно. В приложениях производная по направлению отвечает на прикладные вопросы: как быстро остывает воздух при движении к северу, насколько крут склон для проектируемой трассы, как меняется давление вдоль траектории самолёта. Инструментарий скалярных произведений освежается в уроке скалярное произведение, векторные операции — в теме векторы и операции.

\frac{\partial f}{\partial e} = \nabla f \cdot e = ∣\nabla f ∣ cos α, e max \frac{\partial f}{\partial e} = ∣\nabla f ∣

производная по направлению — проекция градиента; максимум вдоль градиента, минимум против него, ноль поперёк

Частые вопросы

Зачем нормировать вектор направления?

Производная по направлению измеряет скорость на единицу длины пути, а путь задаёт именно направление, длина вектора роли не играет. Для неединичного $v$ скалярное произведение $\nabla f \cdot v$ вырастет в $∣ v ∣$ раз — просто потому, что за тот же шаг пройдено больше. Поэтому вектор делят на его модуль; иначе сравнение направлений теряет смысл: удлинённый вектор всегда выглядел бы «круче».

Чему равна производная по направлению, перпендикулярному градиенту?

Нулю: скалярное произведение ортогональных векторов равно нулю. Вдоль таких направлений функция не меняется — это касательные к линии уровня в данной точке. Практический рецепт: чтобы двигаться, сохраняя значение функции, идите перпендикулярно градиенту; чтобы расти быстрее всего — вдоль него; чтобы убывать быстрее всего — против. Вся геометрия вытекает из формулы с косинусом угла.