📈 Матанализ

Производная синуса

Q: Как найти производную x²·sin x?

Правилом произведения: $(x^2)'\sin x + x^2(\sin x)' = 2x\sin x + x^2\cos x$. Множители сохраняют свои производные, произведение складывается из двух пар. Проверка в нуле: функция $x^2\sin x$ касается нуля плоско, и производная $0$ — оба слагаемых обнулились.

англ. Derivative of sine

(sin x)′ = cos x — при малом повороте ордината растёт со скоростью абсциссы; формула верна именно в радианах, в градусах появился бы множитель π/180.

Производная синуса — косинус: $(sin x)^{'} = cos x$ . Геометрический смысл: точка бежит по единичной окружности со скоростью один; её ордината — синус, абсцисса — косинус, и скорость изменения ординаты в каждой точке равна абсциссе. В вершине $x = \frac{π}{2}$ синус перестаёт расти — производная $cos \frac{π}{2} = 0$ ; в нуле рост самый быстрый — $cos 0 = 1$ . Числовая проверка через предел: $\frac{s i n ( 0 , 1 ) - s i n 0}{0 , 1} \approx 0, 998$ — близко к $cos 0 = 1$ .

Критическое условие — радианы: при угле в градусах производная равна $\frac{π}{180} cos x$ , и вся таблица производных трещит по швам. Поэтому в анализе углы всегда в радианах. Комбинации: $(sin k x)^{'} = k cos k x$ — цепное правило; $(sin^{2} x)^{'} = sin 2 x$ — через двойной угол. Производная входит в исследование функций: экстремумы $sin x$ стоят там, где $cos x = 0$ — точки $\frac{π}{2} + π k$ , что совпадает с вершинами синусоиды. Производные остальных функций — в таблице производных.

(sin x)^{'} = cos x; (sin k x)^{'} = k cos k x; (sin^{2} x)^{'} = sin 2 x

базовая формула и два частых следствия

Частые вопросы

Почему в градусах производная другая?

Потому что приращение аргумента измеряется не в тех единицах, в которых живёт сама функция: градус — $\frac{π}{180}$ радиана, и при переходе к пределу множитель $\frac{π}{180}$ выскакивает из знаменателя. В радианах аргумент и дуга измеряются одной мерой, поэтому $(sin x)^{'} = cos x$ без поправок. Это главная причина, по которой анализ живёт в радианах.

Как найти производную x²·sin x?

Правилом произведения: $(x^{2})^{'} sin x + x^{2} (sin x)^{'} = 2 x sin x + x^{2} cos x$ . Множители сохраняют свои производные, произведение складывается из двух пар. Проверка в нуле: функция $x^{2} sin x$ касается нуля плоско, и производная $0$ — оба слагаемых обнулились.