📈 Матанализ

Формулы двойного угла

Q: Равен ли sin 2x двум sin x?

Нет: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ — множитель косинуса обязателен. При $x = \tfrac{\pi}{3}$ левая часть $\sin \tfrac{2\pi}{3} = \tfrac{\sqrt3}{2} \approx 0{,}866$, а $2\sin \tfrac{\pi}{3} = \sqrt3 \approx 1{,}73$ — вдвое больше. Утверждение совпало бы только при $\cos x = 1$, то есть в нулях.

англ. Double angle formulas

sin 2t = 2 sin t cos t, cos 2t = cos²t − sin²t, tg 2t = 2tg t/(1 − tg²t) — частный случай формул сложения при равных аргументах.

Формулы двойного угла получаются из формул сложения подстановкой $b = a$ : синус удвоенного угла равен $sin 2 t = 2 sin t cos t$ , косинус — $cos 2 t = cos^{2} t - sin^{2} t$ , тангенс — $tg 2 t = \frac{2 tg t}{1 - tg ^{2} t}$ . Для косинуса есть три равносильные записи: через $cos^{2}$ и $sin^{2}$ , через $1 - 2 sin^{2} t$ и через $2 cos^{2} t - 1$ — выбор зависит от того, какую функцию надо убрать из уравнения.

Числовая проверка: при $t = 30°$ синус двойного угла $sin 60° = \frac{3}{2}$ , а по формуле $2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$ — сходится. В уравнениях формулы понижают степень или собирают разные функции в одну: $2 sin^{2} x + cos 2 x = 1$ после подстановки $cos 2 x = 1 - 2 sin^{2} x$ вырождается в тождество $0 = 0$ . Формулы понижения степени — просто переписанный косинус двойного угла. Все варианты — в шпаргалке тригонометрических формул; применение в уравнениях — на странице сведение к квадратному.

sin 2 t = 2 sin t cos t; cos 2 t = cos^{2} t - sin^{2} t = 1 - 2 sin^{2} t = 2 cos^{2} t - 1

основные формулы двойного угла; три записи косинуса под разные задачи

Частые вопросы

Равен ли sin 2x двум sin x?

Нет: $sin 2 x = 2 sin x cos x$ — множитель косинуса обязателен. При $x = \frac{π}{3}$ левая часть $sin \frac{2 π}{3} = \frac{3}{2} \approx 0, 866$ , а $2 sin \frac{π}{3} = 3 \approx 1, 73$ — вдвое больше. Утверждение совпало бы только при $cos x = 1$ , то есть в нулях.

Когда выгодно брать cos 2x = 1 − 2sin²x, а не 2cos²x − 1?

По тому, какая функция есть в уравнении. Если уравнение содержит $sin x$ — берите запись через синус, чтобы собрать всё в одну функцию и сделать замену $t = sin x$ . Если в уравнении только косинусы — запись $2 cos^{2} t - 1$ убирает двойной угол, оставляя $cos^{2}$ . Оба варианта — одна формула, переписанная через основное тождество.