📈 Матанализ

Формулы приведения

Q: Почему при π/2 функция меняет название, а при π нет?

Из симметрии окружности. Сдвиг на $\tfrac{\pi}{2}$ меняет ролями оси: ордината точки становится её абсциссой, поэтому синус превращается в косинус. Сдвиг на $\pi$ переводит точку в диаметрально противоположную: ордината остаётся ординатой, меняется только знак. Отсюда и правило: пол-оборота — кофункция, целый оборот или половина окружности — та же функция со знаком.

англ. Reduction formulas

Правила, сводящие sin, cos, tg и ctg углов вида π/2 ± t, π ± t, 2π − t к функциям угла t: знак по четверти, название меняется для π/2 и 3π/2.

Формулы приведения переписывают тригонометрию «неудобных» углов — $\frac{π}{2} \pm t$ , $π \pm t$ , $\frac{3 π}{2} \pm t$ , $2 π - t$ — через функции угла $t$ . Правил два. Первое: знак результата совпадает со знаком исходной функции в той четверти, куда попал угол. Второе: при сдвиге на $\frac{π}{2}$ или $\frac{3 π}{2}$ функция меняет название на кофункцию (синус становится косинусом и наоборот, тангенс — котангенсом), при сдвиге на $π$ или $2 π$ название сохраняется.

Проверка на конкретике: $sin (\frac{π}{2} + t) = cos t$ — сдвиг на девяносто градусов, кофункция, знак плюс, потому что в первой четверти синус положителен. $cos (π - t) = - cos t$ — сдвиг на сто восемьдесят, название то же, знак минус: вторая четверть, там косинус отрицателен. Мнемоника «лошадь» и полная таблица — в шпаргалке тригонометрических формул; формулы работают и в обратную сторону, превращая $cos t$ в $sin (\frac{π}{2} - t)$ , что важно при решении уравнений — см. простейшие тригонометрические уравнения.

sin (\frac{π}{2} \pm t) = cos t; cos (π - t) = - cos t; tg (π + t) = tg t

три представителя семейства: кофункция для π/2, знак для π, периодичность для 2π

Частые вопросы

Как быстро определить знак в формуле приведения?

Считайте исходный угол $t$ острым первой четверти и спросите, в какой четверти лежит полный угол. Для $π - t$ это вторая четверть: косинус там отрицателен — ставьте минус. Для $\frac{3 π}{2} + t$ — четвёртая: синус отрицателен, косинус положителен. Правило не зависит от реального значения $t$ , потому что формулы — тождества.

Почему при π/2 функция меняет название, а при π нет?

Из симметрии окружности. Сдвиг на $\frac{π}{2}$ меняет ролями оси: ордината точки становится её абсциссой, поэтому синус превращается в косинус. Сдвиг на $π$ переводит точку в диаметрально противоположную: ордината остаётся ординатой, меняется только знак. Отсюда и правило: пол-оборота — кофункция, целый оборот или половина окружности — та же функция со знаком.