📈 Матанализ

Формулы тройного угла

Q: Как вывести формулу тройного угла быстро?

Два шага: сначала двойной угол $\sin 2t = 2\sin t\cos t$, затем сложение $\sin(2t + t) = \sin 2t\cos t + \cos 2t\sin t$. Подставьте $\sin 2t$ и $\cos 2t = 1 - 2\sin^2 t$, соберите: $2\sin t\cos^2 t + \sin t - 2\sin^3 t = 2\sin t(1-\sin^2 t) + \sin t - 2\sin^3 t = 3\sin t - 4\sin^3 t$.

Q: Когда тройной угол лучше произведения в сумму?

Когда в уравнении оба аргумента — $x$ и $3x$, и есть готовая структура $\sin 3x$ через $\sin x$. Тогда формула даёт многочлен от одной функции — замену. Если аргументы произвольные ($\sin 3x\sin x$), выгоднее произведение в сумму: формулы выбираются по структуре аргументов, а не по алфавиту.

англ. Triple angle formulas

sin 3t = 3sin t − 4sin³t, cos 3t = 4cos³t − 3cos t: двойное применение формул сложения; основа тройных уравнений и кубических замен.

Формулы тройного угла получаются двойным применением сложения: $sin 3 t = sin (2 t + t) = sin 2 t cos t + cos 2 t sin t = 3 sin t - 4 sin^{3} t$ ; аналогично $cos 3 t = 4 cos^{3} t - 3 cos t$ и $tg 3 t = \frac{3 tg t - tg ^{3} t}{1 - 3 tg ^{2} t}$ . Проверка на $t = \frac{π}{6}$ : $sin \frac{π}{2} = 1$ , а $3 \cdot \frac{1}{2} - 4 \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1$ — сходится.

Главное применение — уравнения вида $sin 3 x = sin x$ : после формулы $3 sin x - 4 sin^{3} x = sin x$ получаем $sin x (4 sin^{2} x - 2) = 0$ — совокупность $sin x = 0$ и $sin^{2} x = \frac{1}{2}$ , три серии корней. Формула также порождает знаменитую связь с кубическими уравнениями: замена $x = cos t$ в $4 x^{3} - 3 x = a$ превращает кубическое уравнение в $cos 3 t = a$ — этим решался классический случай трисекции угла. В отличие от двойного угла, тройной редко помогает в сводимых задачах — его сила в уравнениях с готовым аргументом $3 x$ .

sin 3 t = 3 sin t - 4 sin^{3} t; cos 3 t = 4 cos^{3} t - 3 cos t

пара тройных формул; третья — для тангенса с квадратом в знаменателе

Частые вопросы

Как вывести формулу тройного угла быстро?

Два шага: сначала двойной угол $sin 2 t = 2 sin t cos t$ , затем сложение $sin (2 t + t) = sin 2 t cos t + cos 2 t sin t$ . Подставьте $sin 2 t$ и $cos 2 t = 1 - 2 sin^{2} t$ , соберите: $2 sin t cos^{2} t + sin t - 2 sin^{3} t = 2 sin t (1 - sin^{2} t) + sin t - 2 sin^{3} t = 3 sin t - 4 sin^{3} t$ .

Когда тройной угол лучше произведения в сумму?

Когда в уравнении оба аргумента — $x$ и $3 x$ , и есть готовая структура $sin 3 x$ через $sin x$ . Тогда формула даёт многочлен от одной функции — замену. Если аргументы произвольные ( $sin 3 x sin x$ ), выгоднее произведение в сумму: формулы выбираются по структуре аргументов, а не по алфавиту.